Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.
Скачать (прямая ссылка):
Й
Отсюда сразу следует, что движения механической системы совпадают с экстремалями вариационной задачи
б J Ldt=Q.
t,
«Удивительно, что у Лагранжа это предложение приведено лишь между строк; этим объясняется тот странный факт, что это соотношение в Германии, — главным образом благодаря трудам Якоби, — а затем и во Франции обычно называется принципом Гамильтона, тогда как в Англии никто не понимает этого обозначения; там это равенство известно под правильным, хотя и мало наглядным наименованием принципа стационарного действия» (Клейн (F. Klein)).
2.2. Вариации и экстремали. Лагранжева система на гладком многообразии M задается одной единственной функцией L : TMxA-*-R, где Д — интервал оси времени R = {t). Точку q?M будем называть положением системы, а касательный вектор обTqM — скоростью в положении q. Пара q, v называется еще состоянием системы. В лагранжевой механике многообразие M принято называть пространством положений, касательное расслоение TM — пространством состояний, L — функцией Лагранжа или лагранжианом, a dim M — числом степеней свободы.
Пример 1. Натуральная механическая система — тройка (М, Т, V), где M — гладкое многообразие положений, T — риманова метрика на M (кинетическая энергия системы), V — гладкая функция на M (потенциал силового поля). Риманова метрика — гладкая функция на касательном расслоении, которая в каждой касательной плоскости является положительно определенной квадратичной формой. Функция Лагранжа L =
20 = T-J-V (функция V : M-+R очевидным образом продолжается до функции из TM в R) А
Пусть а( и а2 — две (не обязательно различные) точки ft М. Путем из а і в а2, начинающимся в момент t\ и заканчивающимся в момент t2 (*ь*2еД). мы назовем отображение класса С-
to: t2)-+M
такое, что o(/i)=ai, (0(/2)=02. Множество всех таких путей обозначим Q (Af; аь а2\ t\, t2) или просто Q, если это не приведет к недоразумениям.
Можно представлять себе Q как некоторое «бесконечномерное многообразие». Касательным пространством к Q в точке а> мы назовем векторное пространство, состоящее из гладких векторных полей W на Af вдоль пути ш, для которых №(ai) =0, W (a2)=0. Векторное поле Wt, заданное в точках ю(/)6Л1, по определению считается гладким, если оно является ограничением на (о(0 гладкого векторного поля, определенного в окрестности пути (о на Af. Касательное пространство к Q в точке <л будем обозначать TaQ.
Вариацией пуши а> (с неподвижными концами) называется отображение а:(—е, e)->Q такое, что:
1) a (O)=Co;
2) отображение <z:(—е, е)Х[Л. '2] М, определенное форму« лой а (и, <)="а(и)(*)' является гладкой функцией переменных и, t.
Поскольку agQ (М; ах, O2; tx, t2), то
3) а(и, I1) =at, а(и, t2)=a2 при всех ив(—е, е).
Под вариацией пути (о мы будем понимать также отображение а.
Вариацию а можно считать «гладким» путем на Q. Его век. тором скорости
Pa(O)GTM
естественно назвать векторное поле WtGTay)M вдоль со:
Поскольку при всех ti < t < t2 да du
Й(0, tW«{t)M
Ги(°> ^)=0, ри (0, t2)=0, то, действительно, ^erwQ.
21 Лемма 1. Для любого W(*Tb?l существует вариация а (и) такая, что
H(P)-W-
Векторное поле Wt называется векторным полем вариации. Оно, конечно, неоднозначно определяв! вариацию движения.
Пример 2. Пусть q\,...,qn— локальные координаты на M и касательное поле W в базисе d/dqu ¦ ¦ ¦, d/dqn имеет компоненты W\.....Wn. Если путь to (0 представляется гладкими
функциями qi*(t),... ,q'n{t), то вариацию a(u,t) можно задать формулами
<7i(и. t)=q\(t) + uWl(t),..., qn(u, t)=q*n(t) + uWn(t). д
Пусть F:Q->/?—числовая функция (по классической терминологии—функционал) на Q. Мы определим дифференциал 6F:TaQ-+R, который будем называть вариацией функционала F.
Пусть WgTaQ. Согласно лемме 1, существует вариация а(и):(—е, e)-»-Q такая, что
«(О)=". Й<°>=г-
Положим, по определению,
6F(W)=*dF(^u)) (0).
Нам следовало бы установить условия корректности определения вариации: линейность относительно W и независимость от выбора вариации пути а(ы). Мы, однако, не будем заниматься этими вопросами, поскольку в рассматриваемых ниже случаях эти условия заведомо выполнены.
Точка ©6Q будет критической (стационарной) для F, если в ней SFaeO. Пусть, например, F принимает минимальное значение на пути coo и производная
dF (а(и)) du
существует. Тогда, очевидно, путь ш0 является критическим.
2.3. Уравнения Лагранжа. Пусть q'.\tv Ж—гладкий путь из множества Q. Скорость v в момент і равна производной q(t). В каждый момент времени ^<?<<2 возникают наборы чисел L'. и (L'. X—Lu, (1 <i<n), которые называются импуль-
Q1 V Q1) «
сом системы и лагранжевой производной функции L. Обозначим их р и [L].
Перейдем к новмм локрлышм координатам q по формуле q*=q(q). Пусть J --.оу — леылрожденная ма; *»та Якоби этой
22 замены переменных. В новых координатах функция Лагранжа определяется формулой ?(<7, <7> t)=L_(q\ q, t). Лемма 2. p=I*-lp, jz.] = /*-1!/.].
Справедливость этих формул устанавливается прямым вычислением.
