Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.
Скачать (прямая ссылка):
Комментарии к списку литературы..........291
Рекомендуемая литература............292
Литература.................294
Предметный указатель.............301 ПРЕДИСЛОВИЕ
В этой работе описаны основные принципы, задачи и методы классической механики. Основное внимание уделено математической стороне предмета. Хотя физическая основа рассматриваемых моделей, а также прикладные аспекты изучаемых явлении затронуты в значительно меньшей степени, авторы стреми-» изложить в первую очередь «рабочий» аппарат классиче-й механики. Этот аппарат содержится, в основном, в гла-1, 3, 4 и 5.
'лава 1 посвящена основным математическим моделям гсической механики, которые обычно используются для описания движения реальных механических систем. Особое внимание уделено изучению движения со связями, а также вопросам реализации связей в динамике.
В главе 3 обсуждаются группы симметрий механических систем и отвечающие им законы сохранения. Там же изложены ичные аспекты теории понижения порядка систем с сим-метриями, часто использующейся в приложениях.
Глава 4 содержит краткий обзор различных подходов к проблеме интегрируемости уравнений движения и некоторые наиболее общие и эффективные методы их интегрирования. Указаны разнообразные примеры проинтегрированных задач, составляющих «золотой фонд» классической динамики. Материал этой гл 1вы используется в главе 5, посвященной одному из наиболее результативных разделов механики — теории возмущений. Основная задача теории возмущений — исследование задач механики, мало отличающихся от задач, точно проинтегрированных. Элементы этой теории (в частности, широко известный и применяемый «принцип усреднения») возникли в небесной механике в связи с попытками учесть взаимные гравитационные возмущения планет Солнечной системы. К главам 4 и 5 примыкает глава б, в которой исследована принципиальная возможность интегрирования уравнений движения (в точно определенном смысле). Оказывается, интегрируемые системы являются редким исключением и это обстоятельство повышает роль приближенных методов интегрирования, изложенных в !¦лаве 5. Классическим вопросам небесной механики посвящена вторая глава. В ней рассмотрена интегрируемая задача 2-х тел,
2-1
9 классификация финальных движений задачи 3-х тел, содержится анализ столкновений и вопросы регуляризации в общей задаче п гравитирующих точек, различные предельные варианты этой задачи. С точки зрения теории возмущений задача п тел обсуждается в главе 5; основное внимание уделено проблеме устойчивости Солнечной системы. Элементы теории колебаний механических систем изложены в главе 7.
Наш текст, конечно, не претендует на полноту. Он также не является учебным пособием по теоретической механике: в нем практически отсутствуют подробные доказательства. Основное назначение нашей работы — познакомить читателя с классической механикой в целом — как с классическими, так и с самыми современными ее аспектами. Необходимые доказательства, а также более подробные сведения читатель найдет в книгах и оригинальных работах по этому предмету, указанных в конце данного тома. Глава 1
ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
Для описания движения механических систем используют разные математические модели, в основе которых лежат различные «принципы» — законы движения. В этой главе перечислены основные объекты и принципы классической динамики. Наиболее простой и важной моделью движения реальных тел является ньютонова механика, которая описывает движение свободной системы взаимодействующих точек в трехмерном евклидовом пространстве. В § 6 обсуждается целесообразность рассмотрения с точки зрения ньютоновой механики усложненных моделей движения.
§ 1. Ньютонова механика
1.1. Пространство, время, движение. Пространство, в котором происходит движение, трехмерно и евклидово с фиксированной ориентацией. Будем обозначать его E3. Зафиксируем некоторую точку оС?3— «начало отсчета». Тогда положение каждой точки S в E3 однозначно задается ее радиусом-вектором - >
Os = г (начало вектора совпадает с точкой о, конец — с точкой s). Множество всех радиусов-векторов образует трехмерное линейное пространство R3. Оно снабжено скалярным произведением <, >.
Время одномерно. Оно всюду обозначается і. Множество /?={/} называется времениой осью.
Движение (или путь) точки S — гладкое отображение A-*-—¦'Fi, где А — интервал оси времени. Будем говорить, что движение определено в интервале А. Каждому движению однозначно соответствует гладкая чоктор-функция г : Д->-/?3.
Скоростью V точки S в момент времени /GA называется производная dr/dl = r(t)?R3. Очевидно, что скорость не зависит от выбора начала отсчета.
Ускорением точки называется вектор a — v — r(:R3. Скорость и ускорение обычно изображают векторами с началом в точке S.
2-2 Множество E3 называют еще пространством положений точки s. Пара (s, v) называется состоянием точки, а множество E3 X R3 {v} — пространством состояний.
S_і
-/fc
Рис. 1
Рассмотрим более общий случай, когда в пространстве E3 движутся п точек sb..., s„. Множество E3n = E3{s |}х... ...xf3(sn) называется пространством положения этой «свободной» системы. Если необходимо исключить столкновение точек, то E3n следует уменьшить, вычитая из него диагонали
