Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.
Скачать (прямая ссылка):
где о — поверхность в M с границей у.
Следствие 3. Значения интеграла
Я*
не зависят от t.
Так как о—любая поверхность в M, то дифференциал отображения g':M-+M сохраняет, очевидно, симплектическую структуру (о2. Рассмотрим внешние степени 2-формы ш2:
<й4 = (о2лсо2, ..., (O2n=O)2Aw2A... Aw2-
Так как dgt:TM-*-TM сохраняет дифференциальные формы (о2*, то, очевидно, интегралы
J' ... I (о24, (26)
StOik
взятые по «подвижным» 26-мерным поверхностям о24, не зависят от t.
Форма to2", записанная в канонических координатах р, q, пропорциональна
dpxЛ • • • AdpnAdqiA ¦ ¦ • Adqn. (27)
Поэтому интеграл (26) при k = n естественно назвать объемом области o2n. Во всех канонических координатах элемент фазового объема с точностью до постоянного множителя имеет вид (27).
Следствие 4. Фазовый поток сохраняет объем в фазовом пространстве.
Это важное утверждение («теорема Лиувилля (J. LiouvilIe) о сохранении фазового объема») позволяет применить к гамиль-тоновой механике результаты эргодической теории (теорема Пуанкаре о возвращении, теорема о средних Биркгофа и т. д.). При этом полезно иметь в виду следующее замечание: если га-
мильтонова система имеет первые интегралы Fi.....Fm (среди
которых может быть функция Гамильтона Н), то сужение фазового потока gt на неособое инвариантное многообразие Mc= = {р, q : F I = Ci,..., Fm=cm} сохраняет некоторую меру с гладкой положительной плотностью: можно показать, что g мс сохраняет значение интеграла
40взятого по «подвижной» (2п—т)-мерной области D на Mt', здесь da — элемент объема Mc как вложенного многообразия в R2n {p,q}, Vm — m-мерный объем параллелепипеда со сторонами grad F1,..., grad Fm. Отметим, что форма da/Vm на самом деле определяется лишь симплектической структурой и не зависит от выбора метрики в R2n.
3.7. Приложения к динамике идеальной жидкости. Уравнение Эйлера, описывающее течение идеальной жидкости в потенциальном силовом поле, имеет следующий вид:
Здесь а—ускорение частиц, р—плотность, р—давление, a U—потенциал массовых сил. В случае баротропных течений р и р связаны соотношением р=р(р) и, следовательно, можно ввести функцию давления
Из уравнения (28) видно, что каждая частица жидкости ведет себя как материальная тачка единичіной массы, помещенная в силовое поле с потенциалом U—Р. Интегральный инвариант Пуанкаре—Картана в этом случае имеет вид
где г—радиус-вектор частицы, v — ее скорость, E = V2/2-f* -\-Р—U — функция Бернулли. В стационарном случае E постоянна на линиях тока.
В частности, если взять замкнутый «жидкий» контур, составленный из частиц в один и тот же момент времени, то интеграл
называемый циркуляцией, будет принимать постоянные значення. Это—известная теорема Томсона о сохранении циркуляции, из которой выводятся основные результаты динамики идеальной жидкости. Отметим два из них. Первый — это теорема Лагранжа о сохранении потенциальности течения: если в начальный момент времени roto=0, то это равенство справедливо всегда. Второй — теорема Гельмгольца о «вморожениости» вихревых линий (интегральных кривых поля rot с): частицы жидкости, образующие в некоторый момент вихревую линию, во все время движения также образуют вихревую линию.
3.8. Принцип стационарности укороченного действия. Пусть (Af1L)—лагранжева система с лагранжианом L = L2+Li4-Lor где L8—гладкие функции на TM, однородные по скоростям степени однородности s. Будем считать форму L2 положительно определенной, так что L2 — кинетическая энергия системы —
а = —— grad р+grad U.
(28)
ф <v, dry—Edt,
ф <v, dr>,
3-1
41задает риманову метрику на М. Функцию L0 : TM-*-R можно отождествить с силовой функцией V : M-*-R.
Уравнение Лагранжа [?]=0 имеет интеграл энергии H= = l2—l0. При фиксированном значении Я = А движение может происходить лишь в области Bh = {х?М: V+AssO}, называемой областью возможности движения. При h>h=supu(—V) множество Bh совпадает со всем пространством положений М. Если h<h, то граница дВнФ0. В типичном случае, когда А — регулярное значение функции Я : TM-+R, область Bh — гладкое многообразие с гладким краем dBh=th, размерность которого на единицу меньше размерности Bh.
Пусть, для простоты записи, A = O (если НфО, то можно заменить L0 на L0-\-h). Предположим, что В\Ъф0 (здесь B = Bо, 2 = So)-
Определение. Функционал
U ___ _
F*=^ (2 Vl0L2+l1) dt=f-Sj (Vl2 - VWtt
11
определенный на гладких кривых х: [Л, t^-^-B, назовем укороченным, действием или действием по Мопертюи (P. L. Mau-pertuis).
Подынтегральное выражение в F* является однородной функцией скорости степени 1. Следовательно, величина укороченного действия F* не зависит от параметризации пути интегрирования.
Предложение 12. Гладкий путь х : [Z1, такой,
что H(x(t))= 0 для всех является решением уравне-
ния Лагранжа [Z.] =0 в том и только том случае, когда этот путь является критической точкой функционала F*1'
<1 Пусть [?Ь(о=0 и L2(X (t))=L0 (x(t)). Тогда
'' _ _ _ _
bF*=bF-2^(YL2-VL0)b(VL2-VL0) dt=0.
Обратно, пусть jc:[si, s2] ->В\2 — некоторый гладкий путь, являющийся стационарной точкой функционала F*. Положим