Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.
Скачать (прямая ссылка):
Предложение 5. Если силы взаимодействия зависят только от взаимных расстояний точек, т. е.
F = Aj (г tj)etJ, Г U = Irt-Tj], etJ= Г1~П ,
то они потенциальны4'.
Потенциальная энергия в этом случае равна 2 иіу» где
KJ
U1J=JZijirt])drij—потенциальная энергия взаимодействия материальных точек mt и mr
Например, в случае всемирного притяжения силовая функция равна
Предложение 6. Пусть /=2от,Г|2—момент инерции си-
" Установлено независимо Эйлером (L. Euler), Д. Бернулли (D. Bernoulli) и Д'Арси (d'Arcy).
2| Силовая функция введена Лагранжем (J. L. Lagrange).
3) В частных случаях оно было известно еще Гюйгенсу (Ch. Huygens), Ньютону (I. Newton), И. и Д. Бернулли (I. and D. Bernoulli).
ч> Установлено Лагранжем.
3-1
17 стемы относительно точки о?Е\ Тогда /=47422 ( Fi, г, >.
і
Если силы потенциальны и силовая функция является однородной степени k, то
/ - 4Т+2 2 < -bp Ti > —47- + 2kV=4А+2 (k+2) V
зависит лишь от положения точек и полной энергии. В случае гравитационного притяжения A= —1 и, следовательно, 7= «4Л—2t/. Эта формула получена Лагранжем.
В качестве приложения введенных динамических величин и законов сохранения, рассмотрим задачу об областях возможности движения замкнутой, системы с зависящими только от расстояния силами взаимодействия.
Свяжем с центром масс (барицентром) новую инерциаль-ную систему отсчета и впредь будем считать его неподвижным: 2m<r< =0. Ясно, что силы взаимодействия FtJ не изменятся при такой смене начала отсчета, поскольку они зависят от разностей Г,—Гу
Суммарный кинетический момент /C=Sm^riXf*) относительно центра масс не меняется. Плоскость, проходящую через барнцеитр перпендикулярно постоянному вектору /С, называют обычно неизменяемой плоскостью Лапласа.
Предложение 7. Справедливо неравенство
K2<2IT. (1)
<1 Действительно, K2 = I Iml (г, X V1) |2 < (Lmi (г, X ^1))2 < < (2 т,Г|2) (ZmiV <2)=/ ¦ 27\ >
Так как T=A-?/, то из (1) получаем неравенство K2< <2/(A — U) или U ArK1Ill <А. Рассмотрим гиперповерхность
Г= (г=(г,.....r^Wilmtrt=0}
и обозначим Вк.н область возможности движения — множество точек Г, в которых может находиться система с заданной энергией и заданной величиной суммарного кинетического момента. Очевидны включения Вд-,дс{гбГ:?/ + /С2/2/ <А}сГ. Обратного включения, вообще говоря, нет.
Предложение 8. В плоской задаче, когда движение
точек происходит в плоскости Лапласа, = + <а|.
<3 Пусть 2т,г, = 0- и Vi = (KXri)Il + аг,//. Тогда lml(riXvi)=K и 7,=/С2/2/-(-а2/2/. Всегда можно подобрать а таким образом, чтобы г^Вк,и. О
§ 2. Лагранжева механика
2.1. Предварительные замечания. Начнем с простого примера. Пусть точка массы m движется по гладкой регулярной по-
18 верхности Z01 заданной уравнением
f(x,y,z)= О (2)
под действием заранее известной силы F. Влияние поверхности S на движение точки естественно отождествить с действием некоторой силы N, ортогональной 2. Считая после этого точку т свободной, ее движение можно описать уравнением Ньютона
m/W+ЛГ. (3)
Из этого уравнения с учетом уравнения связи (2) силу N можно однозначно найти как функцию состояния и времени. Уравнение (3) можно переписать в виде уравнения
<mr—F, !>=0, (4)
где I — произвольный касательный вектор к 2, и интерпретировать его как закон движения Ньютона в касательной плоской сти к поверхности 2.
В механике сила N обычно называется давлением или, более обще, реакцией связи (2), а касательные векторы | — возможными перемещениями или скоростями несвободной точки т.
В общем случае, когда рассматривается несвободное движение п точек (mi, Г]),..., (mn, г„), связи определяются гладким многообразием Af, вложенным в пространство положений свободной системы R3n=R3{rt)X ...XR3{rn). Связями допускаются лишь такие движения, при которых (гі (t),..., rn(t))?M при всех t. Если на точки Действует известные силы Fi,..., Fn, то уравнение (4) естественно обобщить:
п
^imirl-Fl, si > =0, (б)
i-1
где (?ь ..., En) — произвольный касательный вектор к Af. Это уравнение называется «общим уравнением динамики» или принципом Даламбера—Лагранжа. В случае свободной системы точек векторы произвольны и, следовательно, уравнение (5) эквивалентно системе уравнений Ньютона.
Пусть q=(q\,..., qь)—локальные координаты на Af. Тогда Гі — гладкие функции q и
k
V drі •
'1-2.3?*/-
j—і
Кинетическая энергия
является положительно определенной квадратичной формой
'> Гладкость следует понимать в двух смыслах- кик бесконечную рснцируемость и как отсутствие трения.
3-1 19 Введем еще «обобщенные силы» — ковекторы Q (q) — с помощью равенства
п к
2 <F" drI > -JlQjdqj-
і-1 J-1
Теорема 1 (Лагранж). Функции <7(^), задающие движение несвободной системы, удовлетворяют уравнению
(7-1)-77 =Q.
Если силы Fi,...,Fn потенциальны (в смысле определения § 1), то форма I.Qj(q)dq} является полным дифференциалом некоторой гладкой функции Viq). В этом случае естественно ввести функцию L = T-\-V и переписать уравнение движения в виде уравнения Лагранжа
