Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
e(* + $L)X — ecur (C0S ?x _J_ I Sin рд;),
или
e{*-V)x — eax (C0S Rx _ / Sin ?je).
Таким образом, паре комплексных сопряженных корней A12 = а ± ?Z соответствуют два действительных решения: eaXcos?x и eaxsin?x.
Пример 3.
у"+4у'-)~5у = 0.
Характеристическое уравнение имеет вид A2 4А -j- 5 = 0, его корни Ai, г = — 2 ± L Общее решение
у = е~2Х (C1 COS X-J-C2 sin х).
Пример 4.
у" + а2у = 0.
Характеристическое уравнение k2-\- а2 = 0 имеет корни ?ь 2= ± а/. Общее решение
у = C1 cos ах -J- C2 sin ах.
Если среди корней характеристического уравнения имеются кратные, то число различных решений вида ekx меньше п. и, следовательно, недостающие линейно независимые решения надо искать в ином виде.
Докажем, что если характеристическое уравнение имеет корень kt кратности а,-, то решениями исходного уравнения будет не только
ft .л k.x „ к.X а.-1 к X
е 1 , но и хе ' , хге <.....X « с ' .
Предположим вначале, что характеристическое уравнение имеет корень kt = 0 кратности а,. Следовательно, левая часть характеристического уравнения (2.37) имеет в этом случае общий множитель kaf, т. е. коэффициенты ап = ап_г =...== an_a. + l = 0, и характеристическое уравнение имеет вид
+ A1A" - і +...+- = 0.
Соответствующее линейное однородное дифференциальное уравнение '
а0у<"> + віу(»-і) + . .. + ав_„/а') = 0,
очевидно, имеет частные решения 1, х, X2..... х"' ', так как
уравнение не содержит производных порядка ниже чем U1. Итак, кратному корню kt = 0 кратности а; соответствует а( линейно независимых (см. стр. 96, пример 1) решений
§ 4] ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 109
Если характеристическое уравнение имеет корень k^O кратности а;, то замена переменных
y = e*i*z (2.38)
сводит задачу к уже рассмотренному случаю равного нулю кратного корня.
Действительно, линейное однородное преобразование неизвестной функции (2.38), как указано на стр. 94, сохраняет линейность и однородность уравнения. Постоянство коэффициентов при замене переменных (2.38) тоже сохранится, так как
k X
и после подстановки в уравнение (2.36) и сокращения на е 1 при z, z', zC) остаются лишь постоянные коэффициенты.
Итак, преобразованное уравнение будет линейным однородным уравнением re-го порядка с постоянными коэффициентами
b0zW + O1ZC-V ¦+ ¦¦¦ + bnz = 0, (2.39)
причем корни характеристического уравнения
a0k"-\-a,kn~l ¦+ ••• +ап = 0. (2.37)
отличаются от корней характеристического уравнения для преобразованного уравнения (2.39)
V + ... +A = O (2.40)
на слагаемое kt, так как между решениями у = екх уравнения (2.36)
k X
и г = ерх уравнения (2.39) должна быть зависимость y — zei или
kx рХ k.X ill./- LU
е = е е< , откуда U-P-Y-R1. Следовательно, корню k=kt уравнения (2.37) соответствует корень pt = 0 уравнения (2.40).
Как нетрудно проверить, при этом соответствии сохранится и кратность корня, т. е. корень P1 = O будет иметь кратность аг
Действительно, кратный корень kt уравнения (2.37) можно рассматривать как результат совпадения различных корней этого уравнения при изменении его коэффициентов, но тогда в силу зависимости ? = р -4- kt совпадут с р = 0 и аг корней уравнения (2.40).
Корню р = 0 кратности а- соответствуют частные решения z = 1,
а.-1 г. k.x
z = x, ...,Z = Xi . Следовательно, в силу зависимости у = ze 1 > корню kj кратности а(- уравнения (2.37) будут соответствовать а(-частных решений
k X k.x a.-1 k.x
у = е і , у = хе 1 , .... у = X 1 Є 1 •
Остается показать, что решения
k.X kx a,-l kx ,і _ in m\
Є 1 , ХЄ 1 , . . ., X 1 Є 1 \l — 1 • 1.....m)>
(2.41) (2.42)
ПО УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО (ГЛ. ?
где т — число различных корней kt характеристического уравнения, линейно независимы, но это уже было доказано в примере 3 стр. 96-Следовательно, общее решение уравнения (2.36) имеет вид
y=-2i{c0i + CuX-\- CoiX2+ ... -j- Ca,-i, IX*1' ')е t*. г'=1
где csl — произвольные постоянные. Пример 5
у"' _ Зу" _)_ Зу' _ у _ О
Характеристическое уравнение к3 — Зк2 + За — 1=0 или (к — I)3 = 0 имеет трехкратный корень к, 2, 3 = 1. Следовательно, общее решение имеет вил
У = (Cl + C2X + C3X2) ех
Если характеристическое уравнение имеет кратный комплексный корень p-\-qi кратности а, то, соответствующие ему решения
можно преобразовать по формулам Эйлера
е{Р +я',* — ерх (cos qx + I sin qx)
и, отделяя действительную и мнимую части, получить 2а действительных решений:
epxcosqx, херх cos qx, х2ерх cosqx.....х*~херх cos qx,
epxs'mqx, xepx s'mqx, x2epx sinqx.....x' ~lepx sin qx. (^.43)
Взяв действительные и мнимые части решений, соответствующих сопряженному корню р — qi характеристического уравнения, мы не получим новых линейно независимых решений. Таким образом, паре комплексных сопряженных корней р ±qi кратности а соответствуют 2а линейно независимых действительных решений (2.43)
Пример 6.
/V 4_2у"+.у = 0.
