Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
Так как всякое решение у искомого уравнения (2.28) должно быть линейно зависимо от решений у1Р у2.....уп, то определитель Вронского W [yv у2.....уп, у]=0. Запишем это уравнение
в развернутом виде:
Pi (X) — qt (X) =s 0
(/=1, 2.....я),
уо-'+ р, (X) у'"-1»+ ... +рп (X) у = 0.
(2.28)
ух, у2, .... у„.
Уп У'п
У
= 0.
У
У
Jn
или, разлагая по элементам последнего столбца,
У\ Уг ••• Уп
У\ У\ ••• У'п
У"-1'+ ... =0.
(2.31)
ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
105
Полученное уравнение (2.31) и является искомым линейным однородным уравнением, имеющим заданную фундаментальную систему решений уц у2, уп (так как при у = у; (і== 1, 2, ..., п) W[yv у2, .... уп, у] = 0). Разделив обе части уравнения (2.31) на отличный от нуля коэффициент ИПур Уг> •••• Уп\ ПРИ старшей производной, приведем его к виду (2.28). Отсюда следует, в частности, что
Pi (х) ¦
Уі
У 2
• Уп
У\
У'і
- Уп
у{Г2)
у(Г2) ¦
у(п-2)
,,(«)
Jn)
32 • •
уО>
W [у,
У г.
Уп]
Заметим, что определитель
Уі
У[
У2 3'2
у(п-2) у(п-2)
Уп У'п
и{п-2)
(2.32)
^n
равен производной от определителя Вронского U7Iy1, у2.....уп].
Действительно, по правилу дифференцирования определителя, производная
Уі У2 ¦¦¦ Уп У[ У'2 ••• у'„
d
dx у(п-2) у(п-2) , _ _ У(л"_2) >1 У2 • 4 ¦ Уп
равна сумме по і от 1 до п определителей, отличающихся от определителя Вронского тем, что в них продифференцированы элементы /-й строки, а остальные строки определителя Вронского оставлены без изменения. В этой сумме только последний определитель при і = п, совпадающий с определителем (2.32), может быть отличен от нуля. Остальные определители равны нулю, так как их і-я и 1-я строки совпадают.
106 УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО [ГЛ. 2
Уі У
У\ У'
-f pi(X)ux
= се j
или
, , - \ р,(х) dx
УіУ —УУі = СіЄ ->
Для интегрирования этого линейного уравнения первого порядка проще всего воспользоваться методом интегрирующего множителя.
Умножая на р. = Др, получим
d і у \_ Ci_ - j px (X) dx
откуда
или
п
- f р, (X) dx У, J П
/-Jp1 (X) dx --j-dx-У\
W
Следовательно, P1(X)=— ~хЦГ' Отсюда, умножая на dx и интегрируя, получим
ln\W\ = — f Pl(x)dx + \nc, W = ce-$PlWd*
или
X
- J Pi (X) dx
W = се х° . (2.33)
При JC = Jc0 получим с = W(X0), откуда
X
- j р, (X) dx
W (X)= W (X0) е *- . (2.34)
Формулы (2.33) или (2.34), впервые полученные М. В. Остроградским и независимо от него Лиувиллем, называются формулами Остроградского — Лиувилля.
Формула Остроградского — Лиувилля (2.34) может быть использована для интегрирования линейного однородного уравнения второго порядка
f+PiWy'+ P2(X) у = 0. (2.35)
если известно одно нетривиальное решение этого уравнения у,. Согласно формуле Остроградского—Лиувилля (2.34) любое решение уравнения (2.35) должно быть также решением уравнения
§ 41 ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 107
§ 4. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами и уравнения Эйлера
1. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами. Если в линейном однородном уравнении
воУ("'+ віУ(В-1) + ••• +а«У = 0 (2.36)
все коэффициенты at постоянны, то его частные решения могут быть найдены в виде у = екх, где k — постоянная. Действительно,
подставляя в уравнение (2.36) у = екх и у(р) = kpekx (р= 1,2.....п),
будем иметь:
a0knekx + a}kn-lekx+ ... -М„е*х = 0.
Сокращая на необращающийся в нуль множитель екх, получим так называемое характеристическое уравнение
a0kn + axkn~l -4- ... H- ап_ xk H- ап = 0. (2.37)
Это уравнение га-й степени определяет те значения k, при которых у = екх является решением исходного линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами (2.36). Если все корни kx. k2, ..., kn характеристического уравнения различны, то, тем самым, найдено п
линейно независимых решений ек,х, ек,х.....eV уравнения (2.36)
(см. стр. 96, пример 2). Следовательно,
У = C1«*!' + с/2' H- ... + спе V1
где C1 — произвольные постоянные, является общим решением исходного уравнения (2.36). Этот метод интегрирования линейных уравнений с постоянными коэффициентами впервые был применен Эйлером.
Пример 1.
—Зу'+2у=0.
Характеристическое уравнение имеет вид А2 — ЗА -J- 2 = 0, его корни kx = 1, A2 = 2. Следовательно, общее решение исходного уравнения имеет вид у = схе* H- с2е2х. Пример 2.
у"' — у' = 0.
Характеристическое уравнение A3 — A = O имеет корни A1 =0, A2 = 1, A3 = — I Общее решение рассматриваемого уравнения у = с, H- с2ех + с3е~х.
Так как коэффициенты уравнения (2.36) предполагаются действительными, то комплексные корни характеристического уравнения могут появляться лишь сопряженными парами. Комплексные решения g«*+3<)x и e(«-?O*t соответствующие паре комплексных сопряженных корней
108 УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО ГГЛ..2
могут быть заменены двумя действительными решениями: действительной и мнимой частями (см. стр. 95) одного из решений
