Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
Зная одно нетривиальное частное решение ух линейного одно родного уравнения
»w.
Px (X) У1
.(«—i)
-4- ... + р„(х)у = 0,
(2.20)
можно подстановкой y = yxj udx понизить порядок уравнения, сохранив его линейность и однородность. ( Действительно, подстановку у = у, j и dx можно заменить двумя
подстановками: у = yxz и z' = и. Линейное однородное преобразование
y = yxz (2.23)
сохраняет линейность и однородность уравнения (см. стр. 94), следовательно, уравнение (2.20) преобразуется при этом к виду
а0(х) z{n) + ax(x) z{n'l) +
+ а.» (х) г = 0'
(2.24)
причем решению У = Уі уравнения (2.20) в силу (2.23) соответствует решение z s= 1 уравнения (2.24). Подставляя z=sl в
102 УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО [ГЛ. 2
(2.26)
где хотя бы одно О; ф 0,"то, умножая на dx и интегрируя тождество (2.26) в пределах от X0 до х, где a ^x <^b, а х0 — точка
уравнение (2.24), получим ап(х)==0. Следовательно, уравнение (2.24) имеет вид
a0(x)zw+ C1(X) 2<л-1,-1- ... + «»„_,(*)*' = O1
и подстановка z' = а понижает порядок на единицу:
а0(х) и(л":,-(- а,(х) а(я_2)4- ... -Ьая_,(х)и = 0.
Заметим, что та же подстановка y = y1j udx, где у,—решение уравнения Z.[y] = 0, снижает на единицу и порядок линейного неоднородного уравнения L [у] =/(х), так как эта подстановка не затрагивает правой части уравнения.
Зная к линейно независимых на отрезке а^х ^b решений
y/j, у2.....ук линейного однородного уравнения, можно понізить
его порядок до п — k на том же отрезке а <^х ^.Ь.
Действительно, понизив подстановкой у = yk J и dx на единицу
порядок уравнения
L [у] = 0, (2.20)
получаем опять линейное однородное уравнение
a0(x)u{n'l) + O1(X)«'""2' -+- On-1(X)H = O (2.25)
порядка п—1, причем нам известны k — 1 его линейно независимых решений
--?)'- *-(?)'..... •»HW'
которые получим, подставляя в y=y„ f udx или и = (-y-j последовательно у = у1, у = у2.....У — Ук-і- (Заметим, что уже использованному нами для понижения порядка решению у = ук уравнения (2.20) соответствует тривиальное решение и = 0 уравнения (2.25).)
Решения U1, и2, - линейно независимы, так как если бы
между ними существовала линейная зависимость на отрезке а <^ х ^ Ь:
U1U1-J-U2U2+ ... -Ьak_)uk_1==0
или
§ 3] ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 103
11 TkIxT -г "2 у. (Jr) ^ • • • ^1**-' У* (X)
Уі (¦*<>) ! „ УЛХр) і У*-і (-«о) 1_
¦[«і
У* Uo) 1 "2 У* (*о) У* (X0) J = 0,
или, умножая на yk(x) и обозначая
Г- Уі(*о) і - УАх0) Уй-1 (X0)I _
~Г' ITUoT + 02 Ук (Xo)+ +а*-' У, (Xo) J-«*'
получим, вопреки исходному предположению, линейную зависимость между решениями yj, у2.....yft:
аіУі+а2У2 + ••• + aftyfts=0, где хотя бы одно а,- 0. Итак, использовав одно частное решение ук, мы понизили порядок уравнения на единицу, сохранив его линейность и однородность, причем нам известно k — 1 линейно независимых решений преобразованного уравнения. Следовательно, тем же методом можно снизить порядок еще на одну единицу; использовав еще одно решение и продолжая этот процесс k раз, получим линейное уравнение п — к порядка.
Пример 6.
ху" — ху' + у = 0. (2.27)
Уравнение имеет очевидное частное решение у, = х. Понижая порядок подстановкой
у — X \ и dx, у' = хи -f- J и dx, у" = хи' -\- 2и,
приведем уравнение (2.27) к виду
x2if' + (2 —X)Xu = 0,
откуда
du X — 2 . е*
¦ dx, и = с, —г-
1 r2
у = х j" «dx = x^c, f -^j-rfx + Cjj.
UX Xі
Лемма. Два уравнения вида
У' +Pi (*) у"»-1»+ ••• +PnWv = O, (2.28)
f+ftWy-H ••• +ап(х)у = 0, (2.29)
где функции pt(x) и qt(х) (I = 1, 2.....п) непрерывны на отрезке
a ^x ¦^b, имеющие общую фундаментальную систему решений
yv у2, .... у„, совпадают, то есть р,(х)~^(.(х) (/= 1, 2.....га)
на отрезке a ^x ^6.
Доказательство. Вычитая из (2.28) почленно (2.29), получаем новое уравнение:
[Pd^) ~Яі(х)\/п-1)+[р2(х)~ q2(x)] у<"-2^+ ...
+[РЯ(*)-«Л*)1У = 0. (2-3°)
отрезка \а, Ь[, будем иметь
У\ (х) , „ У А*) і Уй-1 W
+ «2 „. /,л + •• • + а*-Г
104
УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО
[ГЛ. 2
решениями которого являются функции ylf у2.....уп, удовлетворяющие одновременно уравнениям (2.28) и (2.29).
Допустим, что хотя бы один из коэффициентов уравнения (2.30) Ip1[X)—qt(х)\ хотя бы в одной точке X0 отрезка a •Cx^b отличен от нуля. Тогда в силу непрерывности функций Pi (х) и qt (х) этот коэффициент отличен от нуля в некоторой окрестности точки х0,
и следовательно, в этой окрестности функции у,, у2.....уп являются
линейно независимыми решениями линейного однородного уравнения (2.30) порядка не выше чем п — 1, что противоречит следствию теоремы 2.7. Значит, все коэффициенты уравнения (2.30)
т. е. P1(X)=^q1[X) (/=1,2.....п) на отрезке а^.х^.Ь.
Итак, фундаментальная система решений у,, у2.....у„ вполне
определяет линейное однородное уравнение
и следовательно, можно поставить задачу о нахождении уравнения (2.28), имеющего заданную фундаментальную систему решений
