Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
т).
¦1PiI '
Следовательно,
л т JL V V ?
я2 Li -J р:
— ^ і
P= 1 «7=1 „2, "Т
Р? ,пх, лу -sin р — sin g-f-
a2 1 b2
Переходя к пределу при лит, стремящихся к бесконечности, в данном случае получим точное решение:
р=1 fl2 +-j2-
§ 4. Метод Канторовича
При применении метода Ригца к функционалам v[z(xu х2.....хп)],
зависящим от функций нескольких независимых переменных, выбирается координатная система функций
W1(X1, х2, хп), W2(xb X2.....хп), Wm(xb х2, хп), ...
и приближенное решение вариационной задачи ,ищется в виде гт =
т
= 2 ак^к(хи х2.....хп), гДе коэффициенты % — постоянные.
к = 1
Метод Канторовича также требует выбора координатной системы функций
Wx (X1, х2, хп), W2(X1, X2.....Xn)..... Wn(X1, X2.....ха). ...
и приближенное решение также ищется в виде
т
Zm*= 2 а" W1 (*i' х*.....
H = I
Поэтому из всех членов, стоящих под знаком двойного интеграла, равного V [гпт\, надо учитывать лишь те, которые содержат квадраты функций
ZiX , лу . пх лу лх , яу _
sin р-sing—f-, sinр- cos q —f- и cos p-sine—+. Очевидно,
а о а о а о
vlznm] является функцией ф(ац, aI2, ..., «п/п) коэффициентов аи, а12, ...
апт, которые определяются из основного необходимого условия экстремума
J*L. = 0 (р = 1, 2, .... п; q = 1, 2.....т)
0арЧ
Эта система уравнений в данном случае имеет вид
ap9(-J + -f)^ + ?OT = 0 (р= 1, 2,..., п; «7=1. 2,
откуда
§ 4i метод канторовича 407
однако коэффициенты a* (X1) не постоянные, а являются неизвестными функциями одной из независимых переменных. Функционал V [г] на классе функций вида
т
*т = 2 "* W1 (*" х* • • •' х")
превращается в функционал v[ax(xi), a2(xi), .... am(xi)], зависящий от т функций одной независимой переменной
«і (X1), а2 (Xi).....ат (Xi).
Функции ах(х{), а2(хї), <хт(х{) выбираются так, чтобы функционал v достигал экстремума.
Если после этого перейти к пределу при т -> со, то при некоторых условиях можно получить точное решение, если же предельного перехода не осуществлять, то этим методом будет получено приближенное решение и притом, вообще говоря, значительно более точное, чем при применении метода Ритца с теми же координатными функциями н с тем же числом членов т.
Большая точность этого метода вызвана тем, что класс функций гт =
т
= 2 ak (xt) (X1, х2, ..., Xn) с переменными (Xt(Xi) значительно шире *=]
класса функций
т
Zm= 2 abWk(X\, х2.....Xn)
при постоянных и, следовательно, среди функций вида
т
*=]
можно подобрать функции, лучше аппроксимирующие решение вариационной
т
задачи, чем среди функций вида 2 a/;Wft (X1, х2, •¦•,Xn), гДе ak постоянны. Пусть, например, требуется исследовать на экстремум функционал
Xo фі (х)
распространенный на область D, ограниченную кривыми у =<р, (х), у = ср2 (х) і двумя прямыми X = X0 и X = X1 (рис. 10.4). На границе области D заданы значения функции г (х, у). Выбираем последовательность координатных функций:
W1(X, у), W2(X, у).....Wn(X, у), ...
Ограничиваясь пока т первыми функциями этой последовательности, мы будем искать решение вариационной задачи' в виде суммы функций гт =
— 2 a* С-*) ^7S (¦*¦ У) или, меняя обозначения а* (х) на uj (х), получим: zm(х, у) = U1 (X) W1 (х, у) + U2(X) W2(X, у)+ ... + ит(х) Wm(х, у),
408
ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ В ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧАХ
(ГЛ. 10
где — выбранные нами функции, а — неизвестные функции, которые мы определяем так, чтобы функционал v достигал экстремума. Имеем
X1 ф2 (JT)
v[zm(x, у)]= J dx J Р(х, у, Zm(x, у), ^L, M^) dy.
Фі (X)
дх ' ду
Так как подынтегральная функция является известной функцией у, то интеграция по у может быть выполнена, и функционал v [zm (х, у)] будет функционалом вида
X,
V [г т (х, у)} = j ф (х, U1 (х).....ат (х), и{, и'т) dx.
Функции Ux(X), и2(х), ит (X) выбираются так, чтобы функционал
Xq
Рис. 10.4.
V [гт (х, у)] достигал экстремума. Следовательно, U1 (х) должны удовлетворять системе уравнений Эйлера:
, =о,
dx \;
= о.
dx и
, =0.
Произвольные постоянные выбираются так, чтобы Zn (х, у) удовлетворяла на прямых X = X0 и X = X1 заданным граничным условиям. Пример 1. Исследовать на экстремум функционал
а Ь
-а -Ь
§ 4] МЕТОД КАНТОРОВИЧА 409
. ,/~5 а hV 2 T
следовательно,
и if 5 х chV "2 T
2, = -^(*2-у2) 1 1-
,,/"5 а
Если необходимо получить более точный ответ, то можно искать решение в виде
г, = (Ь2 - у2) U1 (X) + (Ь2 - у2)2 U2 (X).
Пример 2. Найти непрерывное решение уравнения Az = — 1 в области D, являющейся равносторонним треугольником, ограниченным прямыми
уз
у = ± g X и X= b (рис. 10.5) обращающееся в нуль на границе этой области.
Уравнение Дг = — 1 является уравнением Остроградского для функционала
¦ «м-/ / [(*)¦+(?)¦-*]<"*
о Vz
причем на границе области интегрирования г = 0. Областью интегрирования является прямоугольник — ai^a\ — й < у <. ?>. Решение ищем в виде гх -~ (Ь2 — у2) и (х), при этом граничные условия на прямых у = ± Ь будут удовлетворены. Функционал
