Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
^о(х) = (X-хо)+Уо-
Решение системы уравнений = 0 (1=1,2.....п), вообще
говоря, является весьма сложной задачей. Эта задача значительно упрощается, если на экстремум исследуется квадратичный относительно неизвестной функции и ее производных функционал V, так как
в этом случае уравнения -^?- = 0 (/= 1, 2, п) линейны относительно OL1.
Выбор последовательности функций Wx, W2, .... Wn, называемых координатными функциями, сильно влияет на степень сложности дальнейших вычислений, и поэтому от удачного выбора координатной системы функций в значительной мере зависит успех применения этого метода.
400
ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ В ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧАХ
[ГЛ. 10
Все сказанное выше в полной мере относится и к функционалам
v[z(xv X2.....х„)], причем, конечно, в этом случае функции W1
должны быть уже функциями переменных X1, X2.....хп, а также —
к функционалам, зависящим от нескольких функций.
Метод Ритца часто применяется для точного или приближенного решения задач математической физики. Например, если требуется найти в некоторой области D решение уравнения Пуассона
O2Z .O2Z ,.
при заданных значениях z на границе области D, то можно заменить эту задачу вариационной задачей об экстремуме функционала, для которого данное уравнение является уравнением Остроградского (см. стр. 315). В рассматриваемом случае таким функционалом будет
//[(&)'+(?)'+'•/<*¦ >>]'**•
D
Функцию z, реализующую экстремум этого функционала, можно находить любым из прямых методов.
Задачи математической физики обычно сводятся к исследованию на экстремум функционалов, квадратичных относительно неизвестной функции и ее производных, и следовательно, как указывалось выше, применение метода Ритца в этом случае упрощается.
Вопрос о сходимости приближений, получаемых по методу Ритца, к искомому решению вариационной задачи, а также об оценке степени точности этих приближений является весьма сложным. Поэтому ограничимся здесь лишь немногими замечаниями, отсылая читателя, желающего подробнее ознакомиться с этим вопросом, к книгам Михлина [11] и Канторовича и Крылова [10].
Для определенности будем иметь в виду функционал
X,
v[y(x)] = f F(x, у (jc). / (X)) dx
X0
и предполагать, что речь идет о его минимуме. Последовательность координатных функций W1 (х), W2(х), Wп(х), ... будем считать полной в том смысле, что каждая допустимая функция может быть с любой степенью точности аппроксимирована в смысле близости пер-
п
. вого порядка линейной комбинацией ^ ak^ к (х)координатных функ-ций, где п достаточно велико. Тогда, очевидно, что методом Ритца можно получить функции уг, у2.....уп.....где у„ — ^a11Wk(x),
H = I
§ 3]
МЕТОД РИТЦА
401
образующие так называемую минимизирующую последовательность, т. е. последовательность, для которой значения функционала
«ІУіЬ .....*ЧУяЬ •••
сходятся к минимуму или к нижней грани значений функционала v\y(x)]- Однако из того, что lim v [уп (х)] = min v [у (х)], отнюдь не
следует, что Hm уя(х) = у(х). Минимизирующая последовательность
может и не стремиться к функции, реализующей экстремум в классе допустимых функций.
Действительно, функционал
X1
¦VIyn(X)}== J Р(х, yn(x), y'n(x))dx
может мало отличаться от
V [у (jt)I = J F (х, у (х), у' (X)) dx,
Xa
не трлько в том случае, когда на всем отрезке интегрирования уп (х) близка в смысле близости первого порядка к у (х), но и в том случае, когда на достаточно малых частях отрезка (х0, X1) функции уп (х) и у (х) или их производные резко отличаются друг от друга, оставаясь близкими на остальной части отрезка (х0, X1) (рис. 10.2). Поэтому минимизирующая последовательность yj, у2.....у„
может даже не иметь предела в классе допустимых функций, хотя функции ~
Уі.Уг.....Уп сами и будут допустимыми.
Условия сходимости
последовательности у„,
полученной методом Ритца, к решению вариационной задачи и оценка быстроты сходимости для конкретных, часто встречающихся функционалов были разработаны в трудах Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова. Так, например, для функционалов вида і
v = f[p (X) у'2 + q (X) у2 ¦+- / (х) у! dx; у (0) = у (1) = 0.
Рис. 10.2.
402 прямые методы в вариационных задачах [гл. 10
У/'
' P (X) dx
,ІГ ... max q (х) "11 f І <_^maxp(x)4____j _o-
к2У 2 [min p (X)] 2 X ?max|//(x)| -f- -і max q (x) -f- я min /?(x)j *).
Даже в этом, сравнительно простом случае, оценка погрешности очень сложна. Поэтому для оценки точности результатов, полученных
методом Ритца или другими прямыми методами, обычно пользуются следующим теоретически, конечно, несовершенным, но практически достаточно надежным приемом: вычислив уп(х) и уп+1(х), сравнивают их между собой в нескольких точках отрезка [х0, X1]. Если в пределах требуемой точности их значения совпадают, то считают, что с требуемой точ-Рис. 10.3. ностью решение рассматриваемой вариа-
ционной задачи равно у„ (х). Если же значения уя (х) и ул+1 (х) хотя бы в некоторых из выбранных точек в пределах заданной точности не совпадают, то вычисляют уп+2(х) и сравнивают значения yn+1(x) и уп+2(х). Этот процесс продолжается до тех пор, пока значения Уп+к(х) и Уп+ц+і(х) не совпадут в пределах заданной точности.
