Единый государственный экзамен 2009. Математика. - Денищева Л.О.
ISBN 978-5-89790-534-8
Скачать (прямая ссылка):
180
равенство z = 40, 2500 \
а с ним и каждое из равенств у =
2500
= 2(х + -
и Л«им = 2/наим Наконец, отметим, что введение
«новой переменной» CD = z перевело задачу в разряд очень сложных Весьма немногие участники ЕГЭ-2006 смогли «избавиться» от z, т е обойтись только переменными X и у процент выполнения такой задачи, в среднем, не превысил 2% При этом, верный числовой ответ был приведен в существенно большем числе работ, но вот с доказательством того, что именно он дает искомый минимум и возникли основные сложности
Аналогичным образом, и в заданиях СЗ на ЕГЭ-2007 умение переводить чисто алгебраическую формулировку условия на функционально-графический язык существенно упрощало процедуру и самого решения, и записи решения.
Пример 10. Найдите все значения а, для которых при каждом х
из промежутка (-1; 1] значение выражения а2]/х?—б]/х не равно
значению выражения 2 (з — а \х ) Решение
» a2l/^+2(a-3)^-6 jt 0
Пусть t = \х, — 1 < t < 1 и f(t) = a212 + 2 (а — 3)t — 6 Надо найти все значения а, при каждом из которых уравнение f(t) = 0 не имеет корней на промежутке (-1, 1]
2) Если а = 0, то /(?) = —6(?+ 1) и уравнение f(t) = 0 не имеет корней на промежутке (-1, 1], т е а = 0 удовлетворяет условию задачи.
Если a ^ 0, то график функции у = f(t) — это парабола, ветви которой направлены вверх
Точка ее пересечения с осью ординат лежит ниже оси абсцисс (так как /(0) = -6) Поэтому уравнение f(t) = 0 при -1 < t < 1 не имеет корней тогда и только тогда, когда f(t)<0 на промежутке (—1, 1]. Последнее неравенство равносильно тому, что /(—1) < 0 и /(1) < 0
у= At)
181
3) Решим систему
J7(-i) < о.
{/(!)< 0
а2-2(а-3)-6 < О, а2 + 2(а-3)-6 < О
так как при О < а < 2 верно неравенство
а2+ 2а- 12 < 4 + 4-12 < 0.
Ответ.О < а < 2.
Отметим, что «лобовая» попытка выразить корни квадратного трехчлена a212 + 2(а — 3)t — 6 через параметр и потом с помощью неравенств выяснять, будут ли они принадлежать промежутку (-1; 1], вполне возможна, но, очевидно, приводит к громоздким преобразованиям, в которых довольно легко запутаться.
В самых общих чертах, задание СЗ в ЕГЭ-2008 напоминало задание СЗ из ЕГЭ-2007: тоже задача с параметром, тоже решение неравенств, тоже исследование функций. Однако функций было две, и они не сводились к одной функции. Кроме того, вид функций были посложнее (не квадратические), и рассматривать приходилось не одно неравенство с параметром, а совокупность двух неравенств. Начнем с примера более простого, нежели оригинальные задания СЗ на ЕГЭ-
Пример 11. Найдите все значения а, при каждом из которых неравенство
относительно X не имеет решений. Решение.
Запишем неравенство в виде (a -g(x)) (a -f(x)) > 0, где
f(x) = 2~х + 5, g(x) = 6х — 7 -х2. Наибольшее значение квадратиче-ской функции у = g(x) достигается в вершине: gHail6 = g(3) = 2 и
E{g) - (—°°; 2]. Так как множество значений функции у = 2~х — это промежуток (0; +оо), то множество E(J) значений функции
Дх) = 2~х + 5 — это промежуток (5; +оо).
2008.
(а + 7+х2-6х)(а-5-2~х) > 0
182
E(g)
f(x0)
Eif)
і
T
-2
5
a
Если a < 2, то неравенство (а - g{x)) (а - f(x)) > О имеет решение X = 3, так как а < g(3) = 2 < 5 < /(3) и оба сомножителя a -g(3) и а -/(3) отрицательны.
Если а > 5, то можно подобрать х — Xq так, чтобы 5 < Дх0) < а. Тогда g(x0) < 2, оба сомножителя a -g(x0) и a- f(x0) положительны и неравенство (a — g(x)) (a —f(x)) > 0 имеет решение х = X0.
Если 2 < а < 5, то при любых х сомножитель a —f(x) отрицателен, а сомножитель а - g(x) положителен или равен нулю. Тогда их произведение не положительно, т.е. неравенство (а - g(x)) (a —f(x)) > 0 решений не имеет.
Ответ: 2 < а < 5.
В заданиях СЗ на ЕГЭ-2008 вместо произведения двух выражений рассматривалось их отношение, сами выражения были более сложными и строгое неравенство было заменено на нестрогое. Кроме того, требовалось не забыть проверить, что значение переменной, при котором числитель достигает наименьшего значения входит в ОДЗ знаменателя.
Пример 12. Найдите все значения а, при каждом из которых неравенство
(2%ЗуТ-2~*--5)-
а
< О
а - (2sin-|/x- Г- з)
не имеет решений. Решение.
Запишем неравенство в виде а > 0, где
f(x) = 2х + 3^2-2 х-5, g(x) = 2sinj/x- 1-3, х > 1.
183
Для нахождения E(J) выделим полный квадрат:
2^ + 3-1/^2^-5 = (20'5* - т/3*- fa- 2"№)2 + 2 • і/З1 •1/21 - 5 >
> 2-1/1^-5,
и равенство достигается при
2^--/3^-2-^ = 0 « 2^ = ^181 ~ X = 0,251og218; 0,251og218 > 1.
Так как значения f(x) = 2* + ЗуТ- 2_* — 5 могут быть сколь угодно большими, то E(J) = [Ь; +оо), где
Так как у = |/х - 1 принимает все неотрицательные значения, то у = sini/x-1 принимает все значения от -1 до 1 и поэтому E(g) = [-5; -1]. Ясно, что
&шиб < Лайм <=> -1 < 6 <=> 4 < 2.^181 <=> 2 < УЖ <=> 16 < 18.
E(g) E(f)
' о ¦> »
_5 -l=g(*i) Ь I
Если а > by то можно подобрать х = X0 > 1 так, чтобы /(х0) = а. Тогда неравенство fl > 0 имеет решение х = X0. Если а < -1, то возьмем X = X1 > 1 так, чтобы g{xx) = — 1. Тогда a — g{xx) < О, а — /(X1) < 0 и поэтому неравенство ^ ^ ^ имеет решение
