Единый государственный экзамен 2009. Математика. - Денищева Л.О.
ISBN 978-5-89790-534-8
Скачать (прямая ссылка):
/(-6)+/(5) выражения JX д_2) •
166
Ответы к заданиям с кратким ответом повышенного уровня сложности раздела «Функции»
Номер задания 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Ответ 1 37 1 128 -4 а -а п 4 п 6 [-5, 13] (-10,+оо)
Номер задания 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Ответ к 2 -к 1 4 9 5л: 3 0 -1 [-5,-1] е2-3
Номер задания 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32
Ответ -1 -1 4 2 8 3 -13 -1 -10 -1 -50 50
Номер задания 33 34 .35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
Ответ 50 2 2 1 6 9 2 27 35 4 4 9 8
Номер задания 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55
Ответ -12 -15 9 15 3 2 0,5 3,5 3,5 4,5
Номер задания 56 57 58 59 60 61 62 63 64
Ответ 4 6 1 3 3 3 5 -3 -6
Номер задания 65 66 67 68 69 70 71 72
Ответ 3,5 2,6 3 4 0,8 5 6 -3
Номер задания 73 74 75 76 77 78 79 80 81
Ответ 2 1 2 5 3 -3 -2 2 5
Номер задания 82 83 84 85 86 87 88 89 90
Ответ -4 10 -5 15 -4 3 4 -12 -4
Номер задания 91 92 93 94 95 96 97 98
Ответ 5 -1 -9 4 4 -6 -1 -6
167
Задания с развернутым ответом
1. Найдите точки минимума функции
f(x) = 3*4 + Зх3 - 36х2 + 100 -log°oi {х3 + 1\
2. Найдите точки максимума функции
Дх) = 48х2 - Зх4 - 9х3 + 0,Г18(дг3 + 8).
3. Найдите точки максимума функции
/(х) = (71/ГГ7-2) -49^^+4^7^^+4^-0,5*4.
4. Найдите точки минимума функции
f(x) = 15*4 _ 26*3 +12-12со52(дл:),х2
sin2 (тех)
5. Найдите наибольшее значение функции
/(je) = 3(2х-4)4-(2х-4)5
при \х-2| < 1..
6. Найдите наименьшее значение функции
f(x) = (2*+ 4)5-4(2*+ 4)4
при \х + 21 < 1.
7. Найдите наибольшее значение функции Дх) = ^ ^ при |х + 5,5| < 2,5.
Sx
8. Найдите наименьшее значение функции Дх) = ^2 +4 при |х + 3,5| < 2,5.
9. Найдите наибольшее значение функции
Дх) = 50(0,5х - I)2 - (0,5х - I)4 при \ х — 3| < 3.
10. Найдите наибольшее значение функции
Дх) = 32(0,5х - З)2 - (0,5х - З)4 при \ х- 71 < 3.
168
11. Найдите наибольшее значение функции
/(je) = 0,25(jc - 3) (je + 3) (jc2 + 9) - 2jc2 при Ije - 1,51 < 1,5.
12. Найдите наибольшее значение функции /(jc) = jc(2jc - 3) при |jc- 1,5| < 0,5.
13. Найдите наименьшее значение функции /(jc) = jc(0,5jc + 4)6 при |jc + 8| < 2.
Ответы к заданиям с развернутым ответом повышенного уровня сложности раздела «Функции»
Номер задания 1 2 3 4 5 6
Ответ 2 2 -2 0,8 80 -96
Номер задания 7 8 9 10 И 12 13
Ответ -0,8 0,75 184 112 -18 2 -10
4.3. Задания высокого уровня сложности
Задачи третьей части блока «Функции»в экзаменационных материалах отличаются, как правило, от задач частей 1 и 2 сочетанием в условии различных элементарных функций. Различны и применяемые при решении методы. Объединяет их использование функционального подхода, т. е. исследование свойств функции, полученной из основных элементарных функций. Например, присутствие в уравнении различных типов элементарных функций есть весьма надежный признак того, что методы тождественных преобразований, замен переменных, упрощения выражений и т. п. сами по себе не приведут к ответу. Никакими «стандартными» преобразованиями синус не сведешь к логарифму, а показательную функцию не получишь из квадратичной (не приобретя при этом логарифмов). В таких ситуациях полезно использовать общие методы исследования функций на область определения
169
и множество значений, на монотонность и экстремумы и т. д. Зачастую такое исследование невозможно без использования производных.
Пример 1. Найдите количество целых чисел, принадлежащих
о ¦t лпл w sinx + cosx + 3 лГї множеству значении функции 16 log х-—--—.
16 У2
Решение. Т. к. sinx + cosx = i/^sin^xH- -jj, то множеством значений этой суммы служит отрезок [^-У?; У?J. Значит, множеством
значений числителя дроби является отрезок ^2 уТ; 4 "/21J, а всей дроби — отрезок [2; 4]. Логарифмируя, получаем, что множество зна-
чений данной функции — отрезок
В нем — пять целых чисел. Ответ: 5.
161og J 4; 16log J 2
Тб Те .
= [-8; -4].
Пример 2. Квадрат целого числа, меньшего пяти, умножили на само это число, увеличенное на четырнадцать. Найдите наибольшее значение такого произведения.
Решение. Требуется найти наибольшее значение функции Дх) = х2(х+ 14) при целых значениях аргумента, меньших 5.
Производная f(x) = (х3 + 14х2)' = Зх2 + 28х = х(3х + 28) явля-
28
ется квадратичной функцией, нулями которой являются X1 = —-тр X2 = 0. Между ними производная отрицательна, а вне отрезка
[~~1Г' ~~ положительна- Значит, X1 — точка максимума, a X2 — точка минимума.
Точка максимума расположена между целыми числами —10 и —9. Найдем значения функции в этих точках: /(-10) = 100-4 = 400; /(-9) = 81-5 = 405.
Если X < -10, то /(х) < /(-10), так как на луче (-сю; X1] функция возрастает.
Если -9 < X < 0, то Дх) < /(-9), так как на отрезке [X1; X2] функция убывает. На положительной полуоси функция возрастает, следовательно, при 0 < х < 4 выполняется неравенство
170
Дх) < ДА) = 16-18 = 288. Значит, наибольшего значения при целых X < 5 эта функция достигает в точке х = — 9.
Ответ: 405.
Замечание. График рисовать не обязательно, но если он верный, то нисколько не помешает решению. Задачу можно сделать и прямым перебором. Дело в том, что значения функции отрицательны при х< -14. Значит, можно было бы просто вычислить значения функции во всех точках хЄ {-14, -13, -12,..., 2, 3, 4} и выбрать из них наибольшее значение.
