Единый государственный экзамен 2009. Математика. - Денищева Л.О.
ISBN 978-5-89790-534-8
Скачать (прямая ссылка):
Результаты проведения ЕГЭ-2004 показали, что даже в такой, сильно упрощенной ситуации заметное число выпускников действует по шаблону, никак не учитывая конкретику задания. Было довольно много работ, в которых ученики дифференцировали саму функцию у = у(х), а вовсе не функцию площади или периметра. Другими словами, слепо заученный алгоритм действия («...вижу у = у(х) — нахожу производную и приравниваю ее к нулю...») заслоняет у школьников реальные представления о ситуации, описанной в условии задачи.
174
Отметим также, что в задачах С2 в 2004 году один или оба конца отрезка, на котором исследовалась функция, специально были выбраны «нехорошими», чтобы проверять не столько вычислительный, сколько более содержательный алгоритм исследования функции на монотонность.
Пример 6. Найдите наибольшее ку значение площади прямоугольника 1
со сторонами, параллельными осям V
координат, и диагональю OP, где О — _ jj^^*' начало координат, a P точка на гра- |Ч
фике функции у = 343х2е3~7х + —, —і-¦-1—>
* 0 о,1 2 ж
0,1 < X < 2.
Решение. Длины сторон прямоугольника равны положительным координатам точки Р, см. рис. Поэтому его площадь равна их произведению: 5 = ху. Исследуем площадь S = S{x) = ху = ЗАЗх3е3~7х + 5, 0,1 < X < 2 с помощью производной.
5' = 343(x3e3~7xj = ЗАЗ{Зх2е3~1х-1х3е3-1х) = 343x2e3"7*(3 - 7х).
3
Так как 343х2е3-7* >0 и 0,1 < х < 2, то х = у — единственная критическая точка. Значение функции 5 = S(x) в ней равно
5(^yj = 343^yj е° + 5 = 32. Сравним значения функции 5 в концах
отрезка [0,1; 2] с числом 32.
Так как е > 2, то 5(2) = 343-8*"11 + 5 < + 5 < 7.
211
Так как в < 3, то в23 < З3 и
5(0,1) = 0,343*?3 + 5 < 0,343 27 + 5 < 0,5-27 + 5 < 20. Значит, 5наиб = 32. Ответ: 32.
Разумеется, приведенный способ решения возможен, но, наверняка, встречался крайне редко, так как требует привычки оценивать сверху довольно необычные числовые выражения. Более стандартный способ, после составления функции 5 = S(x) — ху - 3\3хъеъ~1х + 5, 0,1 < X < 2, собственно и состоит в исследовании функции. Приведем его.
175
«... Так как ЗАЗх2е3~7х >ОиО,1 < х < 2, то х = у — единствен-ная критическая точка. Если 0,1 <х<у, тоЗ-7х>0и S'{x) > 0. Если у < X < 2, то S'(x) < 0. Значит, х = у — точка максимума и
•?„а„б =5(f) = 343(|)V + 5 = 32.
Отметим, что после нахождения знаков производной можно сде-
3
лать вывод о характере монотонности функции при 0,1 < х < -=¦ и
при у < X < 2, а после этого сделать вывод о том, что 5наиб = 5|
Впрочем, если есть явное указание на единственность критической точки и верно определена смена знаков производной при прохождении через нее, то подобное исследование на монотонность можно и не проводить.
В части 3 вариантов КИМ в 2005 году не было заданий, в условии которых в явном виде предполагалось бы исследование той или иной функции. В то же время «функциональная» составляющая была одной из основных в решении задания С5. В этих задачах на первом же этапе решения следовало проверить, что уравнение вида Дх) = g{x) с тематически разнородными частями имеет единственный корень. Как правило, функция g была линейной, а функция / в различных вариантах менялась в соответствии с тематической спецификацией, т.е. была показательной, логарифмической, степенной, или тригонометрической.
В действующих учебниках старшей школы имеются заметные различия в изложении того, как решать уравнения вида Дх) = g(x). В некоторых учебниках таких уравнений нет совсем, в некоторых они находятся среди частных примеров, или же упражнений повышенного уровня сложности. В ряде учебников в явном виде сформулировано утверждение («теорема о корне»), позволяющее разбираться с описанной ситуацией. Сформулируем эту теорему в виде правила, весьма полезного для решения уравнений функционально-графическим методом.
Уравнение Дх) = g{x) имеет на промежутке ровно один корень, если выполняются следующие условия:
1) функции в левой и правой частях уравнения непрерывны на промежутке;
176
2) одна из этих функций возрастает, а другая убывает на промежутке;
3) на промежутке есть два числа аиЬ такие, что
(f(a)<g(a), \f{a)>g{a),
< или <
\f(b)>g(b) \f(b)<g(b).
Задания C5 из вариантов ЕГЭ-2006, по существу, уже дважды разобраны выше: в § 3 подробно описаны способы решения встречавшихся в них логарифмических неравенств с переменным основанием, а в § 2 разобраны необходимые тождественные преобразования. Подчеркнем, что после этого в решении снова используются функции. В данном случае, это обычная квадратичная функция, правда, ограниченная на объединение двух промежутков. В следующем примере мы пропустим подробное решение логарифмического неравенства: это можно сделать любым из способов, описанных в § 3.
Пример 7. Найдите все значения я, при каждом из которых оба числа а ~\/а - 6 - 13 и 6а2 + AOa ^a -6-а3 - 388 являются решениями неравенства logo,5^_2(log3(x2 - 2Ox + 99)) > 0.
Решение.
1) fogo,5*-2(fog3(x2 " 20* + 99)) > 0 XЄ (6; 8] U [12; +сю).
2) Пусть X = ai/a-6 - 13 и у = 6а2 + А0а~\/а - 6 - а3 - 388. Найдем зависимость у от хг.
