Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.
Скачать (прямая ссылка):
(3.15.5) и учитывая условие (3.15.4), находим
С = Х (со).
Таким образом,
X (tv>) = X (t) X (со). (3.15.6)
Матрица X (со) носит название матрицы монодромии.
Очевидно,
det А' (со) 0.
184 ПЕРВЫЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА [ГЛ. III
Положим
-±LnX(u>) = A; (3.15.7)
отсюда
Х(ш)=еАа>. (3.15.8)
Напишем тождество
X(t) = X (t) е- At ¦ eAt = Ф (t) eAt, (3.15.9)
где
Ф (t) = X (t) е At.
Имеем
Ф (I -f Ш) = х (t + СО)е- А <¦ +"> =Х(/ + "))г Лм ¦ е~м.
Отсюда, учитывая (3.15.6) и (3.15.8), получаем
Ф (I -f- ш) = X (t) еАш ¦ е~ Аш е~ At = X (t) е~ At = Ф (t),
т. е. матрица Ф (t) - периодическая с периодом ш. Кроме того,
если у4 (/) ^ С {- схэ, -j- оо), то из (3.15.9) выводим
Ф (t) = Х (t) е~ At ? С1 (-оо, °°),
причем
Ф(0) = ? и det Ф (() = det X (t) det е~ At ^ 0.
Теорема доказана.
Замечание. Матрицы
Л = - Ln X (ш)
О) V '
И
Ф (t) = X (t) е~ At,
вообще говоря, комплексные. Можно ограничиться действительными
преобразованиями, если воспользоваться матрицей
Х(2ш)^-[Л"Г.
Однако при этом рассуждения значительно усложняются (см. [28]).
Собственные значения матрицы А, т. е. корни векового уравнения
det (Л - IE) = 0,
называются характеристическими показателями системы (3.15.1). Отметим,
что матрица А не является строго определенной, так как значение Ln X (и>)
многозначно (гл. 1, § 15).
Во избежание недоразумений следует иметь в виду, что характеристические
показатели линейной периодической системы
§ 15) ТЕОРИЯ ФЛОКЕ 185
не идентичны с характеристическими показателями Ляпунова нетривиальных
решений этой системы: первые, вообще говоря, являются комплексными
числами, а вторые - действительными числами, представляющими вещественные
части первых.
Собственные значения ру (/=1, •••, п) матрицы С -Л'(ш), т. е. корни
векового уравнения (характеристического уравнения)
det [X (ш) - р?] = 0, (3.15.10)
называются мультипликаторами. Из формулы (3.15.10) выводим
S Py = Sp X (ш)
/=1
И
П СО
PJpy = det X (ш) = exp $ Sp A (t) dt.
j= i о
Так как det X (w) ф 0, то р;- Ф 0. Из формулы (3.15.7)
на основании известных свойств собственных значений
логарифма мат-
рицы (см. замечание 2 к теореме § 15 гл. 1) получаем
h = LnP/ = ~T [lnIP;l4-*(argpy-H-2?ir)] (3.15.11) (/=1, 2, ..., п; k - 0,
± 1, ±2, ...),
где целое число k подбирается надлежащим образом. Поэтому
характеристические показатели определяются с точностью до мнимых
слагаемых 2k-xijw.
Обобщение. Нетрудно получить более общие формулы для матричного решения
линейной периодической системы (3.15.1).
Пусть X (t) (Х(0) = Е) - нормированная фундаментальная матрица системы
(3.15.1) и Xx(t) - произвольная фундаментальная матрица той же системы.
Очевидно, имеем
X, (t) = X(t) X, (0).
Так как A',(/-|-iu) снова является решением периодической системы
(3.15.1), то справедливо тождество
X, (/4- w) = X, (t) Си где С, - постоянная матрица. Отсюда, полагая /
= 0, получим
С, = Л, ¦ (0) X, (".) = X, ¦ (0) X (.0) х, (0).
186 ПЕРВЫЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА [ГЛ. Ш
Матрицу Си подобную матрице монодромии X(<о), будем называть основной для
матрицы X, (t) (см. [10]). Положим
Л = - Ln X (о")
О) 4 7
И
А, = - Ln Ci.
О) 1
Конкретизируя выбор А, нетрудно убедиться, что можно взять
А, = X,' (0) АХ, (0). (3.15.12)
Действительно, используя известное свойство экспоненциала мат-
рицы (гл. I, § 6), имеем
еА'ш = Xf1 (0) еАшХ, (0) = Х,~1 (0) X (о") X, (0) = С,.
Из формулы (3.15.12) имеем
Л = X, (0) Л,Х|1 (0).
Применяя основную формулу (3.15.3), получаем X, (() = X (0 X, (0) = Ф (0
еЛ% (0) =
= Ф (0 ех' (0)Л'х^1(°)<х1 (0) = Ф (0 X, (0) eAlt.
Таким образом,
Х1(() = Ф1(()еА1', (3.15.13)
где (0 = Ф (0 Xi (0) - ("-периодическая матрица и A, = i LnC, = i Ln [Xj1
(0) Xj (a.)].
Теорема. Для всякого мультипликатора (множителя) р существует
нетривиальное решение | (/) периодической системы
(3.15.1), удовлетворяющее условию
!(' + ">) = PS(0 (3.15.14)
(так называемое нормальное решение).
Обратно, если для некоторого нетривиального решения | (/) выполнено
условие (3.15.14), то число р является мультипликатором данной системы.
Доказательство (см. [29]). 1) В качестве начального вектора | (0) выберем
собственный вектор матрицы монодромии X (">), отвечающий собственному
значению р. Имеем
х (">) I (0) = pi (0)
l(t) = X(t) 1(0).
§ 15] ТЕОРИЯ ФЛОКЕ 187
Отсюда
1 + со) = х (*+(о) 1 (0) = х (о х (со) 1 (0) = х ") pi (0) = pi (t),
следовательно, условие (3.15.14) выполнено.
2) Обратно, пусть для некоторого нетривиального решения | (?) = X (/) §
(0) выполнено условие (3.15.14). Тогда, положив t = 0, из (3.15.14)
получим
I(u)) = Pl (0),
X (ш) | (0) = 1 (ш) = р| (0).
Таким образом, |(0) является собственным вектором матрицы монодромии X
(со), а число р есть корень векового уравнения
det [X (со) - РЕ] = 0
и, значит, р - мультипликатор.
Следствие. Линейная периодическая система (3.15.1) имеет нетривиальное
решение периода со тогда и только тогда, когда по меньшей мере один из
мультипликаторов ее р равен единице.
Действительно, если р= 1, то для некоторого решения | (t) ф. 0 имеет
