Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.
Скачать (прямая ссылка):
E. Имеем
Y(t) = AY (t) + B(t) Y(t).
Отсюда на основании метода вариации произвольных постоянных получим
t
Y(t) = X(t-to) -f lX(t-z)B(x)Y(x)dz.
? о
Но из неравенств (3.10.9) и (3.10.10) вытекает
|| X (t-^IlsSmax (а, b) - c при t^to;
поэтому
||У(0Ис+ ( с || В (t) || || У (т) I dt
to
и, следовательно, в силу леммы Гронуолла - Беллмана (гл. II, §11) находим
(
||У (t)1 sc с ехр ^ с || В (т) II
*0
ОО
sgcexpfcj ||В (т)||сМ = & при tns^t<^co, (3.10.13) о
причем постоянная k в оценке (3.10.13) не зависит от выбора
начального'момента t0 (ta^ 0).
Очевидно, имеем
У (t) = Y (t)y (t0).
Поэтому из формулы (3.10.12) получаем
x(to) = [E + Z(t6)]y(to), (3.10.14)
где
ОО
Z (to) - 5 х.2 (to - В (т) У (т) di,
h
причем на основании (3.10.10) и (3.10.13) выводим
АСИМПТОТИЧЕСКИ ЭКВИВАЛЕНТНЫ!? СИСТЕМЫ
163
Так как матрица В (t) абсолютно интегрируема на [0, оо), то
СО
jj j] В (х) [j dx -*¦ 0 при /0->- 00 h
к, следовательно, в силу (3.10.15) начальный момент /0 можно выбрать
столь большим, чтобы имело место неравенство
det [E~r Z (/")] > 0. (3.10.16)
В дальнейшем /" будем считать фиксированным и предполагать
наличие неравенства (3.10.16). Отсюда и из формулы (3.10.14)
выводим
y{t0) = [E + Z(tll)]-1x(t0). (3.10.17)
Так как формулы (3.10.14) и (3.10.17) равносильны, то для каждого
решения х (t) системы (3.10.4) с начальным условием
x(tf>) = xо найдется одно и только одно решение у (t) системы
(3.10.5), отвечающее установленному выше соответствию, а именно, это
решение, начальное условие у (t0) которого определяется формулой
(3.10.17). Соответствие между решениями у (t) и х (/), устанавливаемое
формулами (3.10.14) и {3.10.17),- взаимнооднозначное, т. е. каждому
решению у (t) соответствует одно и только одно решение х (t) и обратно.
Отметим, что тривиальному решению _у = 0 соответствует тривиальное
решение л: = 0 и в силу линейности соотношений (3.10.14) и (3.10.17)
различным решениям yi(t) и y*(t) системы (3.10.5) соответствуют различные
решения Xi (t) и'Хо (t) системы (3.10.4) и наоборот.
3) Для соответствующих решений х (t) и у (t) оценим норму их разности.
Так как, очевидно,
x(t) = X (t - t0) х (t0),
где x (t0) определяется формулой (3.10.12), то из формулы (3.10.11) имеем
/ оо
У (t) - x(t) = \ хJ (t~x)B (х)у (х) dx - 5 Xi (t - x) В (x)y (x) dx. t"
t
Отсюда, учитывая, что
164 ПЕРВЫЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА [ГЛ. III
на основании оценок (3.10.9) и (3.10.10) при получаем
IIУ (t) - JC (/) \ II хд/ -x)||||B(T)||||j;(t) II dt- j-
h
oo
\ II (t - T) i!!: в (z) I!!IУ (T) II d~ -
t
^ ak || (/,) II { II B(Z) || * +
(0
CO
+bk II у (4) II \ II в (т) li dx. (3.10.18)
Ввиду ' абсолютной интегрируемости матрицы В (t) при t ¦ 210 имеем
Se-"^>||B(T)||dT =
*0
2 t
= ^ e a(,-T) || В (x) || dt + ^ e T) || В (т) || dx
t
2
со t
\ II В (x) || dt -|- \\\ В (x) || dt_< s,
at co 2"
если t^>T. Следовательно,
t
lim \е^^ || В (т) II dx = 0.
Таким образом, из неравенства (3.10.18) выводим lim [у (t) - х (/)] = 0,
t -> СО
т е. системы (3.10.4) и (3.10.5) асимптотически эквивалентны.
Замечание. Если Л.2 = 0, то Xi(t) = 0 и, следовательно, х (t0) -у (to)- В
этом случае теорема тривиальна.
Следствие. Пусть
Tt=B(t)y, (3.10.19)
где B(t) абсолютно интегрируема на [0, со). Тогда для каждого решения у
(t) существует
lim y(t) = c, (3.10.20)
t -> СО
ПРАВИЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
165
т. е. все интегральные кривые у =у (t) имеют горизонтальные асимптоты
(рис. 20), причем различные интегральные кривые y=yi(t) и у =y.!(t) имеют
различные горизонтальные асимптоты у = С\ и y = Ci и, сверх того, для
каждой горизонтальной прямой у = с существует интегральная кривая y=y(t),
имеющая эту прямую своей асимптотой.
Действительно, в силу теоремы система (3.10.19) асимптотически
эквивалентна системе
~ =0 (3.10.21)
с матрицей А= 0. Так как система (3.10.21) имеет решения
х = с,
то отсюда вытекает предельное соотношение (3.10.20).
§ 11. Правильные системы
Рассмотрим линейную дифференциальную систему
§ = A(t)x (3.11.1)
с ограниченной действительной непрерывной матрицей А (():
A(t)?C [/", оо) и sup || А (() || <оо. t
Пусть
т
°=]^п,.1к (3.11.2)
В = 1
- сумма характеристических показателей (с учетом их кратностей nk)
решений системы (3.11.1), входящих в некоторую ее нормальную
фундаментальную систему.
Определение. Действительная линейная.система называется правильной по
Ляпунову (см. [13]), если сумма характеристических показателей ее
совпадает с нижним пределом среднего значения следа матрицы системы, т.
е. если имеет место равенство
t
a-- lim ~ [ Sp A (ti) dti. (3.11.3)
166 ПЕРРЫЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА [ГЛ. ПГ
Замечание. Если матрица А (/) комплексная, то условие правильности
линейной системы записывается следующим образом:
!
о= lirrw \ ReSp A (t,) dt,.
t->cc Р Н)
Лемма. Линейная дифференциальная система (3.11.1) является правильной
тогда и только тогда, когда 1) существует предел среднего значения
вещественной части следа матрицы системы
S= lim -i [ ReSp A (*,)<",; (3.11.4)
