Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.
Скачать (прямая ссылка):
решение
СО
Ф (*> н-) = 2 % (0 нЛ
где
Фо (t) = t
и
Ф* (0 = S (* - *1 )Р &) Ф*-1 (*i) dtx (k ^ 1).
о
Отсюда
г.
ty(t, Н-) = t -)- (j- § (t - ti) ttp (ti) dti -)-о
t ^
+ H-2 5 (t - tl) P (tl) dti 5 (ti ~ /*) kp (/,) dti-{-...
о о
и, следовательно,
I
*i(t)-=t - \(t~ h) Up (t^ dti +
0
t tl
-)- ^ (t - ti) p (/]) dti § (ti - 12) t^p (/jj) dtt (- со <^t oo).
о 0
(3.19.12)
§ 19] УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Характеристическое уравнение имеет вид
tp(io) -р ф(ш)
201
det [X (ш) - р?]: Отсюда, учитывая, что
ФН Ф(м) -Р
= 0.
получим
где
J sP р м dt
det X (w) = det X (0) e° - 1,
p2 - ap -(- 1 = 0, a - <p (<e) -j- ф (oj) = Sp X (w)
(3.19.13)
(3.19.14)
- так называемая константа Ляпунова. Из формулы (3.19.12) имеем
I t /,
ф (/) = 1 - [ Up (tx) dU + lp (U) dti $ (U - ti) Up (u) du +
---
o 5 о
Поэтому для константы Ляпунова а получаем выражение
OJ V} 11
а = 2 - w jj р (U) dti -\-\dU J dU ("* - U -f U) (U - U) p(t,)p (U) -
- to)
0
h h
\ dt-i jj dt3 (ш - -(-13) (ti U) (U -'t3) p (ti) p (U) p (t3)
0 0 0
(3.19.15)
Будем предполагать, что коэффициент p(t) веществен; тогда константа а
также вещественная.
Из уравнения (3.19.13) имеем
Pi.
Возможны три случая: 1)1 а |^>2;
2) \а |<^2 и 3) \а\=2.
Если !а|^>2, то характеристическое уравнение (3.19.13) имеет два
действительных корня р) и р^, из которых один по модулю меньше единицы, а
другой- больше. Таким образом, мультипликатор pj лежит внутри единичного
круга | р | <С t (j Pi I <С 1). а мультипликатор р2 - вне этого круга (i
pa I Г> 1) (рис. 23). Следовательно, уравнение (3.19.1) неустойчиво.
202
ПЕРВЫЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА
[ГЛ. ш
Если \а\<^2, то корни и р.2 характеристического уравнения комплексно-
сопряжены и их модули равны 1, причем pi^pa. Следовательно,
мультипликаторы pj и р,2 расположены на окружности | р | = 1 и не
совпадают между собой (рис. 24). В силу теоремы из
§ 16 уравнение (3.19.1) устойчиво, т. е. все решения его ограничены.
Случай j а | - 2, когда pi = р2, требует более детального рассмотрения.
Отсюда на основании формулы (3.19.15) имеем следующий признак
неустойчивости 7-^ уравнения (3.19.1).
Теорема 1. Если непрерывный периодический коэффициент p(t) может
принимать лишь отрицательные или ну-Рис. 24. левые значения, не будучи
тождественно
равным нулю, то линейное уравнение (3.19.1) неустойчиво, причем
мультипликаторы положительны и один из них больше единицы, а другой -
меньше.
Действительно, так как
(si
Sp(ti)dtx <0
(-1 Y]dU\dh... ^ +
0 0 о
(n= 1, 2, ...),
то из формулы (3.19.15) имеем
a> 2.
Рассмотрим теперь случай неотрицательного коэффициента p(t)5s 0 в
уравнении (3.19.1).
Теорема 2 (Интегральный признак устойчивости Ляпунова). Если непрерывная
ш-периодическая функция р (t) может принимать лишь положительные или
нулевые значения, не будучи тождественно равной нулю, и выполнено
неравенство
(si
0<a\p(t)dt^4, (3.19.16)
о
то все решения x(t) уравнения (3.19.1) ограничены вместе с их.
производными первого порядка на (- оо, -|- о°), т. е. уравнение (3.19.1)
устойчиво.
¦g 19] УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА 203
Доказательство. На основании формулы (3.19.15) для константы Ляпунова
имеем следующее выражение:
а = 2 - /2 -(- /3 (- l)ft llk-(-•••, (3.19.17)
где
Ik = \dti\dti... I dtb-ifo - tt + tjib - ti)...
0 0 0
(A== 1, 2, ...). (3.19.18)
Имеем
^ dty ^ dtt... j" dtk (tt - ... - tk) p (tx)...
• • • P (^ft) \ (w - h H- tk+i) (tk - P (tw)-dtk+i.
о
Используя очевидное неравенство получим
(ш - ti~\- tM) (tk - tk+1) s=S-j (") - ty -j- tk)* -j (w - ti -j- tk)
при 0sS^<7i.
Таким образом,
") fl fk-i
h* <^\dh\dh... J dtk-{*-t1+tk)(tl-ti)...(tk_l-tk)-p{tl)...
0 0 0
th ш
¦¦¦p(tk)[p(tw)dtM<i^\p(t)dt-Ik (k=l,2, ...).
" '5
Отсюда в силу условия (3.19.16) находим
Из сходимости ряда (3.19.17) вытекает
lim 1к - 0.
А-юо
204
ПЕРВЫЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА
[ГЛ. III
Следовательно, ряд (3.19.17) представляет собой ряд Лейбница и,
U)
значит, справедливы оценки 2 - и> J р (t) dt <^а <^2, или в силу
о
неравенства (3.19.16)
- 2<а<2.
Отсюда в силу уравнения (3.19.13) мультипликаторы рг и р9 комплексно-
сопряженные, причем | р, ] == | р3 ] = 1, Рх Pi- Значит, уравнение
(3.19.1) устойчиво и каждое решение его x(t) ограничено вместе с
производной х (t).
Следствие. Если .линейное дифференциальное уравнение
(3.19.1) с непрерывным положительным <о-периодическим коэффициентом р
(t) имеет неограниченное решение, то выполнено неравенство
u^plt) dt^> 4.
о
Замечание. Изложенная выше теория Ляпунова об устойчивости приведенного
дифференциального уравнения (3.19.1) остается в силе, если его w-
периодический коэффициент р (t) ограничен при и является кусочно-
непрерывным на [0, ш]. Действительно, в этом случае решения <р (t) и (t),
определяемые начальными условиями (3.19.3) и (3.19.4), также изображаются
функциональными рядами (3.19.11) и (3.19.12), сходящимися на (-оо, -)-
оо) и допускающими почленное дифференцирование. Сходимость всех этих
рядов, как следует из несложных оценок их членов, равномерна на любом
