Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.
Скачать (прямая ссылка):
Следовательно, Y есть фундаментальная матрица сопряженной системы
(3.12.2) (гл. I, § 2).
Теорема Перрона (см. [25], [14]), Для правильности линейной однородной
дифференциальной системы необходимо и достаточно, чтобы полный спектр')
данной системы
а, (3.12.10)
и полный спектр ее сопряженной системы
(3.12.11)
') Иными словами, спектр с учетом кратностей характеристических
показателей (см. § 4).
§ 12] ТЕОРЕМА ПЕРРОНА 171
были бы симметричны относительно нуля, т, е, должны иметь место равенства
+ = 0 (s=l, ..., я). (3.12.12)
Доказательство. 1) Докажем сначала необходимость
условий теоремы. Пусть система (3.12.1) правильная и X'(/) =
- [хJk (/)] - ее нормальная фундамецтальная матрица, состоящая из
решений
х{к) = colon [xu(t), ..., xnk(t)] {k=\, ..., n) таких, что
X[xil!)] = 4,
где числа удовлетворяют неравенствам (3.12.10). Тогда в силу леммы
Y\t) = [ Х~'(Щ* = [урЛт (3.12.13)
является фундаментальной матрицей решений сопряженной системы
(3.12.2). Пусть, далее,
у(к> = colon [yih {t)...УпЛЩ {k=\..............п),
где
г\У(к)\ = Ъ. (3.12.14)
Из формулы (3.12.13) вытекает, что 7* (t)X(t) - E.
Отсюда на основании правила умножения матриц будем иметь
У5)* . = 1 (s=l, ..., п).
Воспользовавшись теперь теоремой о характеристическом показателе
произведения двух матриц (§ 2), находим
Х[1] = 0^х^*] + х[д:"4)),
т. е.
а5 + ^5г0. (3.12.15)
С другой стороны, если Xjk (t)- алгебраическое дополнение
элемента xjk (t) определителя det X (/), то на основании
известного
правила обращения матрицы получаем
У" (0 =
где
__ XJS(t)
det X (t) = det X (/0) • exp ^ Sp А (tt) dtt ^ 0.
detA"(f)
t
172 ПЕРВЫЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА [ГЛ. Hi
Отсюда
X [Уп (0] ' X [ч=7Л I + X [ехр { - ( Sp A (ti)dt,}] + /\ А\ч(/Ч. l аех л
(fq) j f
Очевидно,
X
1
= 0.
Далее, так как система (3.12.1) правильная, то выполнено равенство
Ляпунова
t
и поэтому
а = 2 as = lim -j J Re Sp Л (tt) dtu
X(exp{~- $Sp Л (t])dti }] = -o. *0
Наконец, учитывая, что при составлении алгебраического дополнения Xjs (t)
вычеркивается s-й столбец, содержащий координаты решения jc(s), будем
иметь
llX]s (t)] = i[Xjs (t)
Таким образом,
1 \Уjs (01 < 0 -f- (- а) + (о - as) = - as , и, следовательно,
Pj - max х [HjS (01 < - as-
/
т. e.
as + |3s^0. (3.12.16)
Сопоставляя эти неравенства с неравенствами (3.12.15), получаем "S +
P, = 0 (s=l, ..., л). (3.12.17)
Остается показать, что фундаментальная матрица Y (t)
нормальная и, следовательно, числа pi,, р4, ..., реализуют
весь спектр
сопряженной системы. Действительно, на основании равенств
(3.12.17) имеем
CK=D|3S = - УХ= - limy § ReSp A -
I
= lim ~ ^ Re Sp [-A* (^)] div
t -"¦ CO 1 J
§ 12] ТЕОРЕМА ПЕРРОНА 173
Таким образом, для фундаментальной матрицы У (t) сопряженной системы
(3.12.2) выполнено равенство Ляпунова и, следовательно, эта матрица
нормальная (§ 7).
2) Докажем теперь достаточность условий теоремы. Пусть (3.12.10) и
(3.12.11) - спектры сопряженных систем и выполнены равенства (3.12.12).
На основании неравенства Ляпунова имеем
У as lim (tm) \ Re Sp Л (/,) dtx = S
t ->СО J
5 to
t
: Tim Y \ Re Sp [-- <4* (/01 dtx =
t -> со 1 J
t
1- 1
= - lim y
t. -*¦ CO
^ Re Sp А (Y,) dt, = - S.
Складывая последние неравенства, в силу неравенства (3.12.12) получим
S
Но так как, очевидно,
S^S,
то
S = S.
Следовательно, существует предел
t
S = lim ~ \ Re Sp A (ti) dt\.
t-+ CO 1
tl)
Кроме того, выполнено равенство
s
Действительно, если бы
2a*>S-
S
то, учитывая, что
5
мы бы имели
0 = У] + ?j) 0,
S
что, очевидно, невозможно.
174
ПЕРВЫЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА
I ГЛ. ' 11
Таким образом, на основании леммы из § 11 система (3.11.1) правильная.
Теорема доказана.
Следствие 1. Сопряженная система для правильной линейной системы есть
также правильная линейная система.
Следствие 2. Если система (3.11.1) - правильная и X(t)~ ее нормальная
фундаментальная матрица, то
К = [Х-'(0 ]*
есть нормальная фундаментальная матрица сопряженной системы
(3.11.2). § 13. Правильность треугольной линейной системы
В этом параграфе будет исследована дифференциальная система с
ограниченной треугольной матрицей. Не уменьшая общности, можно
ограничиться рассмотрением системы с нижней треугольной матрицей.
dxi
~dj = "11 (0*i, dx° а,г1 (t)xl -j- %> (t) хг,
dt
dx,
(3.13.1)
^ Q-n\ (0 ~r an% (0 ^'2 ~p ' * - (r)nn (0 xn.
Положим A (t) - [aJk (01 С [/", оо), где aJk(t) = 0 при k^> j.
Теорема Ляпунова. Действительная треугольная однородная линейная система
с ограниченными коэффициентами является правильной тогда и только тогда,
когда ее диагональные коэффициенты akk (t) (k = l, ... , п) имеют
конечные средние зна-
чения
Г
!**= lim ~\akk{ti)dtu (3.13.2)
t -> со L J
h
Доказательство. 1) Докажем сначала необходимость условий теоремы. Пусть
система (3.13.1) правильная. Положим
" 13]
и пусть
ПРАВИЛЬНОСТЬ ТРЕУГОЛЬНОЙ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ
175
с t п
s = lim у [ Sp A (tx) dt\ = lim С У акк (tt) dtu
I -> оо 1 J . t - со 1 J ¦*".
to It = 1
Введем сокращенные обозначения
