Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.
Скачать (прямая ссылка):
XW = X III.V ||] < X III (О Ц] + X (II •* И = X [¦*]
и
ХМ^ХГ-УЬ
Таким образом,
х1*]=х[у]-
Определение 3. Согласно Ляпунову, однородная линейная дифференциальная
система (3.8.2) называется приводимой, если с помощью некоторого
преобразования Ляпунова она может быть преобразована в линейную систему
%=ву (3.8.3)
с постоянной матрицей В.
Н. П. Еругиным получены необходимые и достаточные условия приводимости
линейной системы (см. [20]).
Теорема Еругина. Линейная дифференциальная система
(3.8.2) приводима тогда и только тогда, когда некоторая ее
фундаментальная матрица X (t) может быть представлена в виде матрицы
Ляпунова L (t), умноженной на экспоненциал произведения независимой
переменной t на постоянную матрицу В, т. е.
X (t) = L (() е'-н.
(3.8.4)
§ 8] ПРИВОДИМЫЕ СИСТЕМЫ. ТЕОРЕМА Н. П. ЕРУГИНА 155
Доказательство. 1) Докажем сначала необходимость условия теоремы. Пусть
система (3.8.2) приводима. Тогда с помощью преобразования Ляпунова
x = L(t)y (3.8.5)
ее можно преобразовать в линейную систему
% = ВУ (3-8.6)
с некоторой постоянной матрицей В. Фундаментальная матрица Y = Y (t)
системы (3.8.6) удовлетворяет матричному уравнению (гл. II, § 2)
Y = BY. (3.8.7)
Отсюда получаем (ср. гл. II, § 8)
Y (t) = etBC, (3.8.8)
где С - произвольная неособенная постоянная матрица (det С Ф 0). В силу
формулы (3.8.5) фундаментальная матрица системы (3.8.2) будет иметь вид
X(t) = L(t) Y(t) = L(t) ёвС.
Выбрав С = Е, мы и получим формулу (3.8.4).
2) Докажем теперь достаточность условия теоремы. Пусть имеет место
формула (3.8.4). Отсюда
L(t) = X (t) e~tB.
В уравнении (3.8.2) произведем преобразование Ляпунова:
x - X(t) e~tBy.
Тогда
§ = X (t) + х {t) etBy _ х (/) е~гвВу = A{t)X (t) е^ву.
(3.8.9)
Так как
X(t) = A(t)X(t),
то в формуле (3.8.9) два члена сокращаются и мы имеем X{t)f<Bft=X(t)e-
<BBy,
т. е.
3-*>-
Таким образом, система (3.8.2) приводима.
156
ПЕРВЫЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА (ГЛ. III
Замечание. В формуле (3.8.4) матрица В может быть взята в жордановой
форме.
Нетрудно сформулировать условия устойчивости приводимой системы.
Теорема. 1) Приводимая линейная однородная система устойчива тогда и
только тогда, когда все характеристические показатели ее неположительны,
причем нулевым характеристическим показателям отвечают простые
элементарные делители, если их рассматривать как вещественные части
собственных значений соответствующей постоянной матрицы.
2) Приводимая линейная однородная система асимптотически устойчива тогда
и только тогда, когда все характеристические показатели ее отрицательны.
Доказательство непосредственно вытекает из того обстоятельства, что
характеристические показатели приводимой системы
(3.8.2) равны действительным частям корней^ соответствующего векового
уравнения
det (В - Щ = О,
где система
аУ - т,
устойчива или неустойчива одновременно с данной системой.
§ 9. Приводимость к системе с нулевой матрицей
Пусть линейная система
// V*
Ш = АУ)х (3.9.1)
(где А (t) - ограниченная непрерывная действительная матрица) с помощью
преобразования Ляпунова
x = L(t)y (3.9.2)
преобразуется в систему
dy_
dt
О (3.9.3)
с нулевой матрицей. Так как общее решение системы (3.9.3) есть
У = с, (3.9.4)
то в этом случае семейство интегральных кривых линейной системы (3.9.1) в
пространстве (рис. 18) может быть вза-
имно однозначно и непрерывно отображено на семейство парал-
ПРИВОДИМОСТЬ К СИСТЕМЕ С НУЛЕВОЙ МАТРИЦЕЙ
1.57
при
x(t)
лельных прямых в пространстве If X (рис. 19), т, е отображении (3.9.2)
различным интегральным кривым х = соответствуют различные прямые у = с и
обратно.
Заметим, что если линейная система (3.9.1) преобразуется в систему с
нулевой матрицей, то в силу формул (3,9.2) и (3.9.4) все ее решения
ограничены.
у = с
Рис. 19.
Теорема. Если 1) все решения x(t) линейной однородной дифференциальной
системы (3.9,1) ограничены в промежутке [/0, оо); 2) интеграл от следа
матрицы системы ограничен снизу, т. е.
[ Sp A (ti) dt!;
(0
= а>-
•оо.
где а - постоянная, то система (3.9.1) с помощью преобразования Ляпунова
может быть преобразована в систему с нулевой матрицей.
Доказательство (см. [12]). Пусть X (t) - фундаментальная матрица системы
(3.9.1). Покажем, что X (t) есть матрица Ляпунова, Действительно,
очевидно, X (t) О [?0, оо). Далее, на основании условия 1) имеем
|Х(01 =
IX I
\А (01| || X (О I
где с и с,-некоторые положительные постоянные. Кроме того, используя
формулу Остроградского - Лиувилля (гл. II, § 3)
t
det X (t) = det X (/") exp J Sp A (t^ dtu
^0
в силу условия (2) получаем
158 ПЕРВЫЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА [ГЛ. ггт
при t^t", где Cq - постоянная. Таким образом, X (t)- матрица Ляпунова.
В уравнении (3.9.1) положим
x = X(t)y,
тогда
d?- = X(t)% + X(t)y = A(t)X(t)y,
или так как
X(t) = A(t)X(t),
то
X{t)dft=Q. (3.9.5)
Так как X (t)- неособенная матрица, то, умножая на X'1 (t) обе части
уравнения (3.9.5), окончательно будем иметь
Теорема доказана.
Следствие. Если матрица A (t) системы (3.9.1) абсолютно интегрируема, т.
