Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.
Скачать (прямая ссылка):
9Л1 + 2)?4 = {*+.у}1
где X е и. у е Wk, а также их пересечение
а"1 П %
число лимеино
суть также подпространства в 8".
Пусть л:(1), , х(к) - максимальное
независимых векторов, содержащихся в линейном подпространстве Ш. В таком
случае
ЯК = {а^ ¦+... -J- аААг1*>},
446 ПРИЛОЖЕНИЕ
где аь ... , ak - произвольные комплексные числа, т. е. jc(i), ... ... ,
х{к) является базисом для Ш. Число k называется размерностью
подпространства Ш, т. е.
dim 9Л = k,
где O^k^n.
Обратно, множество
9)? = {а1л;<1> + ... + аАл;(А>},
натянутое на векторы jc(1), ... , x(k) .............. ak - ком-
плексные числа), является линейным подпространством, причем если данные
векторы линейно независимы, то размерность подпространства Ш равна k.
Определение 2. Линейное пространство 9)? называется прямой суммой (см.
[5]) линейных подпространств (/=1,2,..., s), т. е.
"№ = 3",(r)^,(r) ... е з"" (1)
если каждый вектор jc ? Ш допускает единственное представление
JC = jc(1) -f- JC(a) -f-JC(s),
где xU) ^ WRj (j= 1, 2, ... , s).
Из определения 2 вытекает, что соотношение (1) выполнено тогда и только
тогда, когда нулевой вектор 0 не допускает нетривиального разложения
0 = 6<1> + $<*> + ...+ $(*>,
где 1(;) ? Wlj (j = 1, 2, ... , s), причем не все векторы |(Л нулевые.
Очевидно, из (1) следует, что
ЭДу П = 0 при j^k. (2)
Обратно, если для слагаемых суммы (1) попарно выполнены условия (2), то
сумма (1) прямая.
Теорема 1. Если линейное пространство 2п представляет прямую сумму
подпространств Ш; (/ = 1, ... , s):
?" = $№,(c) ... (c)а",,
то объединение любых базисов этих подпространств является базисом
пространства
Обратно, если объединение некоторых базисов подпространств (/=1, ... , s)
есть базис пространства $п, то 2п представляет собой прямую сумму этих
подпространств.
ЖОРДАНОВА ФОРМА МАТРИЦЫ
447
Доказательство. 1) Докажем сначала первую часть теоремы, причем
доказательство будем проводить для прямой суммы двух подпространств
^Л = "1Р0(r)1? (3)
размерностей р и q. Переход к общему случаю, очевидно, не
пред-
ставляет затруднений.
Пусть _у(1)........у(р) и 2(1)......z(q) - некоторые базисы,
соответственно, подпространств Шр и Щ*. Из формулы (3) следует, что для
любого вектора х ? справедливо представление
x=y-\-z, (4)
где у ? 9Ж и г^Ш4. Отсюда
+ S (5)
k=\ /=1
где I,, ... , и рь ... , - координаты векторов у и г в соот-
ветствующих базисах. Так как представление (5) единственно,
то векторы _у(1), ... , Ур), zw......z(q) линейно независимы и
образуют базис пространства 8".
2) Докажем теперь вторую часть теоремы. Пусть для подпространств Шр
и 4)i9 существуют базисы _у(|), ... , у(р) и
2(1), ... , z<-q\ объединение которых есть базис пространства Тогда для
каждого X 1>п справедливо разложение - (5), и это разложение единственно.
Но в таком случае имеет место единственное представление (4) и,
следовательно, есть прямая сумма подпространств и ill7.
Следствие. Сумма подпространств
фг = 9.1?, + ... +ая,
является прямой тогда и только тогда, когда
S
dim SDJ = 2 dim Ш].
i-1
Определение 3. Пусть
т э эг.
- вложенные* подпространства линейного пространства
Векторы |(1), ... , из Ш будем называть линейно незави-
симыми относительно подпространства Щ (см. [10]), если 1) они линейно
независимы и 2) подпространство, натянутое на эти векторы, имеет с 9J
лишь нулевое пересечение, т. е.
j=i
448
ПРИЛОЖЕНИЕ
тогда и только тогда, когда
ttj = я., -... == ар == 0.
Заметим, что векторы ?(1), ... , линейно независимые относительно 9t = 0,
являются линейно независимыми в обычном
смысле.
Теорема 2. Пусть
Г = rnmDттлD ... D9"!D'Ж* = 0 (6)
- цепочка вложенных друг в друга различных подпространств и
... ,lt]p (Р = 1, ••• - т\ kp^l) (7)
- максимальная система векторов из Шр, линейно независимых
относительно Щр.Л . Тогда объединение всех систем (7) пред-
ставляет базис пространства
Доказательство. Прежде всего, заметим, что полная совокупность векторов
(7) является набором линейно независимых векторов пространства 8".
Действительно, пусть
"т кр кi
2 of )+ ... + ? 4f)\f +.,. + ? = 0, (8)
/= 1 /= I 7=1
где aS0 = 0 при и aW =? 0 для некоторого /"^[1, kp]. Тогда
kP
2 в силу соотношения (8) представляет ненулевой эле-
i-\
мент из подпространства, натянутого на векторы ... ,
принадлежащий подпространству что невозможно.
Докажем теперь, что векторы (7) образуют базис пространства tn.
Доказательство будем проводить методом математической индукции по числу т
элементов цепочки (исключая 3){0). Если т = \, т. е.
Е" = ЭЮ1о = 0,
то векторы (7) представляют собой максимальную систему линейно
независимых векторов в и, следовательно, образуют его базис.
Предположим теперь, что теорема верна для любой цепочки вложенных
подпространств
"?т-0 ... D аяоа"о=о,
содержащей т - 1 элементов (т^>1), отличных от нуля. Иными словами, мы
предполагаем, что базис подпространства может
ЖОРДАНОВА ФОРМА МАТРИЦЫ 449
быть построен указанным выше способом. Пусть х ? Шт. Можно предполагать,
