Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.
Скачать (прямая ссылка):
класс системы St имеет вид
di = P(t)y +/(0, (St+h)
где
P(t + hp)z$P(t)
и
Так как разность двух решений неоднородной системы St+fl
представляет собой решение однородной системы 2](+/г> т0 в
силу
условий теоремы любая система St+h имеет единственное
ограниченное решение. Отсюда на основании следствия к теореме Америо
получаем, что ограниченное решение системы St, если оно существует,
является почти периодическим.
Замечание. В условиях теоремы единственные ограниченные решения
присоединенных систем Si+k также будут почти периодическими.
442 ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ДОП.
Упражнения
1. Исследовать на почти периодичность функции: sin (sin л: 1^2), sin \
х j, sin х2, cos ух, ln (2 + cos x -|- cos x V'2), sgn (sin x).
2. Доказать, что если f (x)-действительная п. п. функция, то
" , . [ /(*). f(x) 5=0,
/+(*) - | 0 ( / (л:) с 0
. . 0 . /(*)"го,
' I -f(x), f (х) < 0
также п. п. функции.
3. Доказать, что если f (х) - действительная п. п. функция и
Tf?(in[/(*), sup/(*)),
X X
то существует относительно плотное множество точек {?}?/* таких, что
/ю=>
4. Показать, что если f (х) - непрерывная co-периодическая функция на
(-оо, оо), то
М-
~ 4 ' J СО
о
5. Пусть f (х) - п. п. функция и
М{/(х)}=0.
Доказать, что функция f (х) имеет относительно плотное множество нулей.
6. Показать, что для функции
f(x) = e!x2
при -со, -}-со) имеем
М {/ (*) е~ах} = 0.
7. Пусть f(x, у) почти периодична по х при у?У, где У-компакт, и
равномерно непрерывна по у на множестве 1 х X У.
Доказать, что/(л:, у) почти периодична по л: равномерно относительно
параметра у ? У.
8. Пусть х - скаляр и
^ = a(t)x+b(t), (*)
где a (t) и b (t)-действительные почти периодические функции, причем
a (t) 3= а > 0,
где а - положительная постоянная.
Доказать, что уравнение (*) имеет единственное почти периодическое
решение (см. [78]).
9. Пусть в скалярном уравнении первого порядка
§=/(*)+?(*). (**)
УПРАЖНЕНИЯ 443
f (х)- монотонно возрастающая функция такая, что
/' (л:) :> k > О
(k - постоянная), и g (t) - почти периодическая функция.
Доказать, что существует единственное почти периодическое решение
уравнения (**) (см. [T9]).
10, Пусть
dx X ч
= (***)
- неавтономная система, где f(t, ^СС^Н^Хе^") и f(t, х)
"-перио-
дична по t.
Если система (***) допускает ограниченные на // решения, которые
являются разделенными в некоторой области 1( Х ~Вх(Вх - компакт), то все
эти решения м-периодичны.
11. Пусть
dx
= Ах -\-f (¦*) + \>-g {t), (****)
где A = [ajk} - постоянная (п X п)-матрица, f (х) ? С '(е^). g (t) - п.п.
вектор-функция и ,и - скалярный параметр, причем
ReA;-(/l)^0 и/(0)=/(0) = 0.
Доказать, что при малых | ц | уравнение (****) имеет единственное п. п.
решение (см. [28]).
12. Пусть
= Ау +/(0> (I)
где А = \ajk] - постоянная (п X п)-матрица и f(t) - конечный
тригонометрический полином:
N
/(0=2 ("pCosXpZ + ftpSinXpi;).
р=о
Доказать (см. [80]), что система (I) имеет почти периодическое решение
тогда и только тогда, когда выполнены условия ортогональности:
(ФЛО. /(0) = М{Ч>Л07(0}=0 (s = l, ... , q),
где г|з5 (t) (s = l, ... , q)-полная совокупность линейно независимых п.
п. решений сопряженной системы
Т,=-/!**. (П>
13, Модулем называется числовое множество аЖ = {а} такое, что если
а, то а - 13
Пусть линейная система
444
ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[ДОП.
с постоянной матрицей Лис почти периодическим свободным членом f(t)
допускает единственное почти периодическое решение tj = т) (^), причем
почти периодическая вектор-функция / (t) имеет множество показателей
Фурье, принадлежащее модулю <JC. Доказать, что показатели Фурье решения
т] (t) принадлежат этому же модулю.
14. Пусть
dx
- автономная система, где f(x) ? С1 (<М^) и
div/(*)=2lj=0-
j
Доказать, что: а) для каждого ограниченного измеримого множества А^<Мпх
его объем
V(A)=\ ... \ dXl ... dxn
А
инвариантом относительно данной системы (см. [12], [35]);
б) всякое ограниченное решение ? (t) системы, двусторонне устойчивое по
Ляпунову при t-> ± оо, является почти периодическим (см. [81]),
ПРИЛОЖЕНИЕ ЖОРДАНОВА ФОРМА МАТРИЦЫ
1°. Прямая сумма линейных подпространств. Пусть ?" - n-мерное векторное
пространство (гл. I, § 5), элементами которого являются комплексные п-
векторы:
'х,
где хи ... , 'хп - координаты вектора х в некотором базисе.
Определение 1. Подмножество 'ЖСназывается подпространством линейного
пространства С", если оно само является линейным пространством
относительно введенных в S" основных операций умножения на число и
сложения, т. е. из условия X, у е следует, что our-f- (Зу ЭД, где а и ^ -
произвольные комплексные числа.
Заметим, что любое подпространство Ш содержит нулевой элемент 0, так как
если | 5)Jf, то
0 = 01 ^ ш.
П р и м е р. Совокупность векторов
У = Ах,
где А - (гг х /г)-матрица, очевидно, представляет собой подпространство
ЯК
В 1
В частности, при А -О и А-Е будем иметь так называемые несобственные
подпространства Ш - 0 и Ш! = $.,л.
Отметим, что сумма подпространств
