Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.
Скачать (прямая ссылка):
СО
"Л (^ -|- х> Iх) = ^ - ^) [f(ti) (^> Л (^> Iх))] dtx -
- СО
= § G(t-tt) [f(ti -f-x) -f- (^i Ч- T> Tl(^i_bT> Iх))] dtx.
- 00
Отсюда с учетом (18.2) и (18.4) получим II n (t + X, [х) _ Т) (t, JX) ||
< $ || G (t - tl) || {|| /(^ + x) -/ (tt) II +
~Ы Iх I [II ф (^i т> Ti(^i_bT> Iх)) - ф(^1> Ti(^i_bT> Iх)) II -4-
+ II <P (*i, Л (tl + x,. jx)) - <P (tu Tl (tl, jx)) ||]} dti
*S{sup ||/(* + ¦*) - /(О II+ 1 Iх I [sup || q>(f + i, y) - v(t, У) II +
t t.y
00
-\-N sup II 1)(/ + х, jx) Ц (t, fx)] 11} [ II G (0 || dt <
t - CO
< {? +1 Iх I ? + N | Iх | sup || ri (t + x, jx) T) (t, jx) ||} ci.
§ 18] КВАЗИЛИНЕЙНАЯ ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКАЯ СИСТЕМА 427
где
оо
с,= 5 II G (t) II dt^-.
- 00
Поэтому
sup II ч (* + "!, I*) - n(t, l*) II <
t
<(1+||*|)С1б+С1^||*|8ир || ri (/-[-x, i*) -t|(f, I*) II и, следовательно,
sup || Ti it + X, n) - T| (t, ц) II < j^j e.
если только
I^Kminf-^r, P>i) = P-o-
Таким образом, при достаточно малом ]р| решение ¦>](?, р.) почти
периодическое.
Замечание. Почти периодическое решение tj(t, р.) системы (18.1) может
быть найдено- методом последовательных приближений:
т|(*, |*)= Пт Чр (t, |*),
р -> 00
где
Чо (*, ц) = \ G(t- h) f (to dt, = уо (t)
- 00
- единственное почти периодическое решение системы
% = Ау+/<9
И
Лр+1 (t, I*) = f G(t- tx) [/ft) + (J,cp (tu Чр (tu ц))] dti (p = 0, 1, 2,
...).
Так как
Ч*(*. Р')=И(*, I*) при |ц|0",
то решение ч(^, р.) непрерывно по ц в окрестности точки р. = 0 и
lim r\(i, n)=y0(t).
Jj. -> О
428
ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[ДОП.
О
§ 19. Н-класс почти периодической системы
Рассмотрим нелинейную дифференциальную систему
§=№> х) (5/),
где х = (х!.....хп) гМ'гх - искомый действительный (п X 1)-век-
тор, = {-оо, оо} и f(t, х) - данный (п X 1)-вектор.
Предположим, что
о /(*, х), ес(1<хлх),
где Ах - область действительного евклидова пространства причем f(t, х)
равномерно непрерывна по jc на каждом_ замкнутом подмножестве It X Вх,
где BxdAx - компакт (т. е. ограниченное замкнутое множество) (рис. 65);
2) f(t, х) почти периодична по t равномерно по х на любом BxdAx.
В этом случае в силу теоремы существования [11] для любых начальных
данных *"€: // и -^о G Ах
" ----------". будет существовать решение x = x(t)
системы St такое, что x(t0) = x0 (вообще говоря, не единственное). Рис.
65. Из условия 1) и 2) вытекает,
что f(t, х) ограничена на каждом множестве ItX^x- Действительно, пусть
е^>0 фиксировано и
8 = 8 (е)-соответствующее положительное число, определяемое на основу
равномерной непрерывности по х вектор-функции f(t, х) на ItXBx- Для
каждой точки х(^Бх построим сферу Ss(jp). Из бесконечного покрытия 1J
Sb(x)^)Bx выберем конечное Подлей*
покрытие
U5S (хк)ЭВх. к =1
Так как вектор-функции f(t, хк) (k = \....... N) почти перио-
дические по t, то они ограничены (§ 2), и пусть
Г8 = шах \\f(t, а:*) ||. k
Для любой точки х ?ВХ найдется сфера Sb(xk)Z)^- Поэтому
I!fit, x)\\^\\f(t,xk)\\ + \\f(t, x)-f(t, *ft)!l<r8 + ?,
т. е. f(t, х) ограничена на It X Вх.
Пусть {hp} - произвольная последовательность действительных чисел. Так
как вектор-функция f(t, х) почти периодична по t,'
Я-КЛАСС ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
429
то в силу обобщенной теоремы Бохнера (§ 16) для каждого х ^ Ах существует
подпоследовательность {hq\ (q = q (р)) такая, что последовательность {f
(t-\-hq, jc)} сходится равномерно по t на оси
- оо<^<^оо. В силу условий 1) и 2) на множестве С = ItXBx число 8 = 8
(е) 0 для равномерной непрерывности по t вектор-
функции f(t, х) можно выбрать не зависящим от точки (t, х), а длина / =
/(е)^>0 для почти периодической вектор-функции f(t, х0) (Хо^Вх) может
быть взята не зависящей от точки jc0. Поэтому, выбирая на множестве С
всюду плотное множество точек (tr, хг) (г = 1, 2, ...), по аналогии с
доказательством обобщенной теоремы Бохнера (§ 16) легко доказать, что
существует последовательность {hr\, для которой последовательность {f(t-
\-hr, jc)} сходится при г-^оо равномерно по совокупности переменных (t,
х) на С = 11 X Вх, где Вх - данный компакт.
Более того, полагая
Ax=\JBf, Bf<ZB{^ (k = \, 2, ...), ft=i
где Б(х - компакты, и используя диагональный процесс, можно построить
последовательность {f(t-\-hs, jc)} (s=l, 2, ...), которая будет
сходиться _равномерно на любом замкнутом мно-
жестве /1X Вх, где Вх - компакт. В этом случае предельная функция
g(x, t) = lim f(t + hs,x)
S OO
будет равномерно непрерывна по X на каждом множестве It X Вх и почти
периодична по t равномерно по х на этом множестве и, следовательно,
непрерывна по совокупности переменных (t, х) на It X Лх.
Пусть
§=f(t + hp,x) (р= 1,2,...), (SMp)
где
f(t-\-hp, x)z?g(t, х) при р -оо
В таком случае будем говорить, что система Sl+hp при р -> оо сходится к
системе
% = (S'¦**)
где h обозначает последовательность {hu h%, ...}, что
условно
записывается следующим образом:
^t+h - Hm Sl+h (19-1)
р-ЮО *
430 ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 'ТОП.
Близость систем (Sl+h ) и (St+h) в точке (t, х) будем оценивать
