Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.
Скачать (прямая ссылка):
значения Аь..., Хт (ms^n) с соответствующими
т
кратностями рь..., рт, ede'^ipj = n, путем преобразования по-
!=--1
добия с некоторой неособенной матрицей S можно привести к квази
диагональном у виду:
SAS l = diag [А^ (А,),..., Ат (Am)],
где Aj (Xf) (j = 1,..., m) - квадратная матрица порядка ph допускающая
единственное собственное значение Ау, т. е. такая, что ее
характеристический полином имеет вид
Dj (А) = det [Е {рЛ - А, (А7)] = (Х - Аjfi.
Таким образом, остается изучить структуру квадратных матриц, обладающих
единственным собственным значением.
5° Вторая теорема приведения. Для изучения структуры корневых
подпространств линейного преобразования введем понятие циклического
пространства.
Определение 6. Линейное пространство ?1 называется циклическим
относительно его линейного преобразования А, если некоторая цепочка
векторов
1, Ап-% (1*0)
образует базис этого пространства (циклический базис).
Это определение дословно переносится на инвариантное подпространство.
460
ПРИЛОЖЕНИЕ
Лемма 2. Если А - линейное преобразование в 2п с единственным собственным
значением X и пространство S(tm) - циклическое относительно преобразования
В = А - \ЁУ
то матрица А преобразования А в циклическом базисе lu h = Bl1п = В"-%
представляет собой клетку Жордана
(27)
J(k) =
'X 1
0 X
О О L0 О
О О' О О
X 1 О XJ
= Х? + /1,
(28)
соответствующую числу X. Доказательство. Так
как пространство^ является
корневым подпространством для преобразования А, принадлежащим
собственному значению X, то
Вп = (А - Х?)л = б
(см. следствие 1 теоремы 4).
Из соотношений (27), полагая |л+1
поэтому
0, имеем
A%k = -J- В) \ь = X|fe -]- |fe+1 (k=\,
Ml =4i + h,
-J- |3,
n),
^6" =
Следовательно, матрица преобразования /4 в базисе (27) пред-ставляет
клетку Жордана (28).
ТеоремаБ(втораятеоремаразложения). Пусть - корневое подпространство
линейного преобразования А в 2я, принадлежащее его собственному значению
Х;-. Тогда Ш] разлагается в прямую сумму инвариантных подпространств
эг,(r) ... е
циклических относительно
Bj - А - XjE.
(29)
ЖОРДАНОВА ФОРМА МАТРИЦЫ 46!
Доказательство. Пусть dim Ш/ = Pj (1 sS /?у С я). По-
ложим
е* = {*еалу: й*х=о} (k = o, 1...............Pj),
где В,- определяется формулой (29).
Очевидно, имеем
аяу=% э @Р;-1 э ¦ • • э (c)1 э @о=о,
причем (?*(& = О, 1.......pj) - подпространства в 3)1;, инвариант-
ные относительно преобразования By.
Пусть
IT......(k=\................р}) (30)
- все векторы из @й, линейно независимые относительно <2^
(определение 3), т. е. векторы (30) линейно независимы и подпространство,
натянутое на них, имеет с нулевое пересече-
ние, причем число их максимально.
Положим
l[nk-!)=B!jl{hk) (А= 1........qk\l<k). (31)
Тогда векторы \f~l) ^<Sk_i и линейно независимы относительно
$*./-! при ?> 1.
Действительно, имеем
Bk.-lW-i) = Bk№ = 0,
) j^h *
т. е.
%{k-D (Z. @
"Л ^Z^k - r
Далее, векторы %{hk~l) линейно независимы, так как, если
(2>.|Г)=°.
Л Л
то
п
Отсюда, учитывая, что векторы (30) линейно независимы относительно @*_i,
находим
h
т. е.
= а,3 = ... = = 0,
462 ПРИЛОЖЕНИЕ
и, таким образом, векторы (31) линейно независимы. Наконец, пусть
х=24 е (c)*-/-!¦
h
Тогда
h
и, следовательно,
k
Но векторы линейно независимы относительно @*.л; поэтому "j = гу.а =,,, =
= О,
т. е. л; = 0, и, таким образом, векторы tb~l) линейно независимы
относительно
Пусть @r (1 sscrs^pj) - подпространство в наивысшей размерности,
содержащее ненулевые векторы, линеино независимые относительно Такое
подпространство существует, так как
преобразование Л на инвариантном подпространстве 9)^ имеет по меньшей
мере один собственный вектор | Ф 0, соответствующий собственному значению
Х;-, т. е.
В? = (А-1,-Ё)Ъ = 0,
который, очевидно, входит в и является линейно независимым относительно
(r)0 = 0.
В подпространстве построим максимальную систему векторов
SM ?(/¦)
Ъ1 " • • • > Ь<7 >
^г
линейно независимых относительно подпространства 0^. Как было показано
выше, векторы
1<Г"=В;.|Г (h= 1, ..., qr)
принадлежат подпространству (c),_i и линейно независимы относительно
Дополним эту систему, если это необходимо, до
максимальной системы векторов
1М, l^-11 (q^TStq,),
линейно независимых относительно
Продолжая этот процесс дальше, мы в каждом подпространстве <&k (1 sg k sg
г) будем иметь максимальную систему векторов
11*", .... |?' ik = r,r-\.......... 1; qk^qk), (32)
ЖОРДАНОВА ФОРМА МАТРИЦЫ
463
линейно независимых относительно причем справедливы со-
отношения
Согласно теореме 2 объединение всех векторов (32) представляет собой
базис подпространства 3JJ/. Каждый из этих базисных векторов ? (c)ft такой,
что ВДа* + 1) Ф %(h\ порождает полную цепочку (серию векторов)
которая является циклическим базисом подпространства 9? размерности k,
натянутого на векторы цепочки,^причем 9?, очевидно, инвариантно
относительно преобразования Bj.
Нумеруя эти циклические подпространства ..., 9?s (s - qt) и учитывая, что
объединение их базисов является базисом подпространства на основании
