Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
D |2Ь(*-и)Х(а)|==0 (9.5,5)
9.5, Дальнейшие свойства главных компонент
381
и в качестве b (и) имеет смысл выбрать векторный ряд r-й главной компоненты, отвечающей r-щ из собственных чисел, занумерованных в порядке возрастания. Такой рецепт есть не что иное, как обобщение предложения Bartlett (1948а) применительно к многомерному случаю.
В некоторых других ситуациях может встретиться одна из разновидностей многофакторных аналитических моделей типа
Х(0 = (А + 2с(*-и)Б(и)+е(*), * = 0, ±1, (9.5.6)
и
где ^-мерный ряд ?(f), t = 0, ±1, описывает q различных „скрытых" факторов, а гх^-фильтр {с (и)} представляет влияние факторов. Пусть нас интересует ряд^(^), t = 0, ±1, который в определенном смысле является содержанием модели. Методы § 9.3 предлагают один из способов определения ?>(t). Если ряд не автокоррелирован, то процедура сводится к факторному анализу, столь часто применявшемуся психологами при психометрических исследованиях [Horst (1965)]. Обычно тогда интерпретируют отдельные главные компоненты и, пытаясь облегчить задачу интерпретации, совершают преобразования вращения или линейные преобразования над наиболее важными компонентами. Применительно к нашему изучению временных рядов подобная интерпретация чрезвычайно усложняется из-за того, что если Vy (А). является нормированным собственным вектором, отвечающим собственному значению M7-(А), то тем же свойством обладает вектор OCy(A)Vy(A), когда комплексное число ay (А) равно по модулю 1.
Другого рода трудность связана с тем, что собственные значения и векторы матрицы спектральной плотности не остаются инвариантными при линейной фильтрации ряда. В результате у рядов, которые заметно изменяются во времени, оказываются после фильтрации сильнее взвешены главные компоненты. Если ряды до и после фильтра регистрируются не в сопоставимых шкалах отсчета, то неизбежно возникают трудности. Одним из способов избежать больших сложностей явилась бы схема вычислений, основанная не на оценках матрицы спектральной плотности, а на оценках матрицы когерентностей [Rp(X)].
В заключение этого параграфа напомним читателю, что, как мы убедились в § 4.7, представление Крамера вытекает из своеобразного анализа главных компонент ряда, который проводится во. временной области. Другие применения анализа главных компонент при временном подходе встречаются в работах: Crad-dock (1965), Hannan (1961а), Stone (1947), Яглом (1965) и Crad-dock, Flood (1969).
9.6. Рабочий пример
Рассмотрим оценки коэффициентов ряда главных компонент для временного ряда, имеющего размерность 14. Это ряд средних месячных температур, измеренных на одной американской и 13 европейских метеостанциях, упоминавшихся в гл. 1. При обсуждении теоремы 9.4.2 мы подчеркнули, что оценки \lf}(X), Vyr> (Я) могут иметь существенные отклонения, если матрица спектральной плотности ряда как функция X сильно отличается от константы. По этой причине наш ряд был подвергнут предварительной фильтрации, удалившей эффекты сезонного изменения температуры. На рис. 9.6.1 представлены оценки спектра мощности ряда, прошедшего такую обработку; эти оценки рассчитывались по формуле (9.4.19) при т = 25.
На рис. 9.6.2 изображены кривые для lg|i/r) (Х)> /= 1, ..., 14; по-прежнему \ip(X) обозначает собственное значение матрицы fxx СО> оценивающей матрицу спектральной плотности. Поскольку мы не располагаем программой для вычислений на ЭВМ собственных значений и собственных векторов комплексных эрмитовых матриц, то практически \ір (X) и V}r> (X) рассчитывались с помощью леммы 3.7.1 по матрице с действительными элементами:
RefTx(Я) Imf&(A.n /о к i\
l-Imf&W Ref&Wj- ( '
Кривые* на рис. 9.6.2 спадают с ростом X в значительной степени так же, как кривые на рис. 9.6.1, изображающие спектр мощности. Согласно выражениям (9.4.18) и (9.4.20), стандартное отклонение этих оценок приближенно равняется
*gg =^0.062. (9.6.2)
На рис. 9.6.3 и 9.6.4 представлены величины оценок прироста IV4P7^(Jt)I и фазы arg Vp (X) для первых двух главных компонент. Для первой из них поразительным образом постоянны модули как функции X. За исключением Нью-Хейвенской станции, все они не близки к 0. Для большинства рядов фазы близки к 0 или ох/2 одновременно. При интерпретации этого явления следует иметь в виду, что собственные векторы определены с точностью до множителя, равного по модулю единице. Именно поэтому на большинстве графиков 4 точки выступают из плавной кривой. Ряд первой главной компоненты, по-видимому, в значительной степени пропорционален усреднению по 13 европейским рядам, которое проводится без всяких временных задержек. Модули и фазы ряда второй главной компоненты содержат
Вильнюс
~2л-J-і
Беош.
Вроц/шв
Прага
J_I
J_і
О А 7Г О Л 7Г О X Tt О X 7Г
-2
Будапешт
1 -
J_і
J_г
Базель
Де-Билт
О X 7Г О \ 7Г О X 7Г О X я
1[~Нью-Хейден ГринВич Эдинбург Трондхейм
-2
-1 -
О X я О X 7Г
