Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
К предельному распределению другого вида можно прийти, рассматривая спектральные оценки § 7.3:
га
(2т + I)-K 2 1? (¦
2я [s (T)+ s] T
при
)
2ns (T)
A,^0(mod я),
т
(2/п)-1Е{п&(Я- + ^Г
т
(2т)-1 2 {
при или при
і (Г) 1XX
)+1?
= 0 (mod 2л) ± я, гЬ Зя,
2ns
2ns
T 1 г Я = ± я, ± Зя,
XX
... и четных Г,
а . -я 2ns \ \ Х+у---rj J
при A,= dz я, ± Зя, ... и нечетных Т.
(9.4х. 19)
В теореме 7.7.3 было установлено, что в этих трех различных случаях данная оценка имеет асимптотически при T—*оо распределение
(2т+ I)-1W? (2т + 1, ixx(X)), (2m)-*Wr(2m, ixx(X)) или
(2/7Z)-1W, (2m, ІХХ(Х)).
Последнее сразу же позволяет получить такой результат.
Теорема 9.4.4. Пусть для r-мерного ряда X (/), / = 0, ± 1,
выполняется условие 2.6.1. Пусть т фиксировано, a [2ns (Т)/Т] стремится к X при T —> оо. Если \х(р (X), VJr> (X)1 j = 1, ..., г,— собственные числа и векторы матрицы (9.4.19), то при ХфО (mod я) ОАШ сходятся по распределению к собственным значениям и векторам случайной величины, имеющей распределение (2т+ I)"1 W? (2т+ 1, fхх(X)), а при X = O (modя)-— к собственным значениям и векторам случайной величины с распределением (2m)~lWr (2т, fxx(X)). Оценки на частотах Xn, /г=1, N, для которых Xn ± Xn' ф 0 (mod 2я), асимптотически независимы.
Распределение собственных значений матричных случайных величин с действительным или комплексным распределением Уишарта было получено в работе James (1964).
Распределения, приведенные в теоремах 9.4.3 и 9.4.4, не являются несогласованными друг с другом. Отождествив, как в § 5.7 и § 7.4,
1_ B7T
2 da
9.5. Дальнейшие свойства главных компонент
379
мы установим при больших т с помощью теорем 9.2.2 и 9.2.4, что собственные значения и собственные векторы асимптотически нормальны и имеют надлежащие асимптотики первых и вторых моментов.
Результаты этого параграфа можно применить для приближенного Определения ДОВерИТеЛЬНЫХ ГраНИЦ ВеЛИЧИН [Xy (X) у
VpjCk), /, P=I9 г. Например, из теоремы 9.4.3 и рассуждений § 5.7 можно получить такое приближенное выражение для доверительного интервала величины Ig(Xy(Ji) с уровнем доверия 100у%:
Ig (X) -z (І+Ї) (0.4343) У - < Ig(Xy (X)
< IgHr (*) + * (1?1) (0.4343) |/ —^- . (9.4.21)
В то же время результат упр. 9.7.5 показывает, что может оказаться полезной xi/2-аппроксимация распределения
I Vg^)-VMl1 § (9.4.22)
2.2
где
S2T = Bf1T-^n J № (a)2da\ip (X)
X 2 (х}Г)(X)[Vp(Х)-\хр(X)]~2\Vfi(Х)\\ (9.4.23)
/=*=/
Далее, действуя в духе § 6.2, можно было бы использовать эту аппроксимацию при определении доверительных областей для величин *
{ReVpJ(X)y lmVp/(X)} или {\Vp/(k)\, argV„y(X)}.
Большая часть материала данного параграфа взята из статьи Brillinger (1969(1).
9.5. Дальнейшие свойства главных компонент
Ряды главных компонент, введенные в § 9.3, могут быть истолкованы и в рамках обычного анализа многих переменных как главные компоненты. Возьмем r-мерный стационарный временной ряд X(t)9 t = 09 ±1. с матрицей спектральной плотности f^x(^)> и пусть Х(*, X) обозначает компоненту этого ряда с частотой X (см. § 4.6). Тогда, как показано в § 4.6
и 7.1, 2г-компонентный действительный случайный вектор
К ц»\ <951>
имеет ковариационную матрицу, пропорциональную матрице
1-І.!„W R.f„wJ-'«W* (9-5-2)
Стандартная методика изучения главных компонент величины (9.5.1) приведет нас к рассмотрению собственных значений и векторов (9.5.2). Согласно лемме 3.7.1, эти числа и векторы имеют вид
[ReV7(X)I Г—Im V7 (X)]
м*>. kvywJ^n^ [ ReV; (X)J- <9-5-з>
/=1, ..., г, где [Xy (X), Vy (X), / — 1, ..., г9 являются собственными значениями и векторами матрицы f ^y(X), фигурирующими в теореме 9.3.1. Таким образом, анализ главных компонент стационарного ряда X(t)9 который проводится в частотной области,— это обычный анализ главных компонент, примененный к индивидуальным частотным составляющим X (t) и их преобразованиям Гильберта.
Процедуры, рассмотренные в § 9.3, могут иметь самые разнообразные приложения. Вначале напомним введение к этой главе: пусть нас интересует передача r-мерного ряда по q < г каналам связи. Одно из решений возникающей при этом задачи дает теорема 9.3.1. С другой стороны/ часто представляет интерес исследование серии рядов с одной действительной компонентой, содержащих полезную информацию об изучаемом r-мерном ряде, в особенности^ если число компонент велико. В такой ситуации теорема 9.3.4 рекомендует сначала рассмотреть ряд, соответствующий наибольшему собственному значению, затем ряд, соответствующий второму по величине собственному значению, и т. д.
Но возможны ситуации, когда, напротив, полезно начать с рассмотрения рядов, отвечающих самым маленьким собственным значениям. Допустим, нам кажется, что рядХ(^), ? = 0, ±1, может удовлетворять некоторому инвариантному во времени линейному условию вида
. 2 b (t-и)X (U) = K9 (9,5.4)
и
где К—константа, а lxr-матрица Ъ(и) нам не известна. В таком случае