Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
В гл. 7 обсуждались процедура построения оценок матрицы спектральной плотности и асимптотические свойства этих оценок. Одна из приводившихся оценок имела вид
t-x
ГРх (Я) = 2пТ-і ? ^m (*-Щ ITx (-у1) . (9.4.1) где Vpx (Ц есть матрица периодограмм второго порядка:
ITx (а) = (2яТ)-1 [ ¦Jj: X (/) ехр {- fa*}j Д X (0 ехр {- fa/}]* ,
(9.4.2)
a W(T) (а) — весовая функция, в выражение которой
OO
И?(Г)(а)=.2 W(Bf1[a+2nj]) (9.4.3)
входят функция W (а), сконцентрированная в окрестности а = О, и последовательность неотрицательных чисел Вт, T = 1, 2, ...,—
9.4. Построение оценок и их асимптотические свойства
375
параметров ширины полосы пропускания. Воспользовавшись этими обозначениями, сформулируем теорему.
Теорема 9.4.1. Пусть X(t), t = 0> ±1, есть г-компо-
нентный ряду удовлетворяющий условию 2.6.2 (1). Пусть Vp(X) и Uf} (Я), / = 1, г у—собственные значения и собственные
векторы матрицы
2л
J W^(X-a)ixx(a)da, (9.4.4)
о
а \лр(Х), Vp(KJy J=I1 г у—собственные значения и соответствующие собственные векторы матрицы VPx(K) из (9.4.1). Предположим, что функция W (а), по которой определяется ixx(K)y удовлетворяет условию 5.6.1. Если ВТТ—> oo при T—> oo, то
Е^Т) (X) = vf> (Х) + 0(Вт 1/2Г"1/2). (9.4.5)
Если, кроме тогОу среди собственных значений fxx(X) нет оди-наковыху то при всех /=1, ...,г
E[xf > (X) = vp (X) + О (Bf1T-I) (9.4.6)
и
EVp (X) = Uf > (X) + О (Bf1T-1). (9.4.7)
При больших значениях ВТТ в силу теоремы 9.4.1 распределения собственных значений jxf) (X) и собственных векторов Vf} (А,) имеют математические ожидания, мало отличающцеся от соответствующих собственных значений и векторов матричного среднего (9.4.4). А если к тому же Вт—*0 при Г—*оо, то, очевидно,
E^(X), EHf(X)-^7 (Я) (9.4.8)
и
EVp(X)-^V1(X) для /=1, г при Г—оо. (9.4.9)
Собственные значения и векторы матрицы (9.4.4) окажутся близкими к интересующим нас величинам ji/ (X), Vj (К) в том случае, когда fxx(a), — оо<а<оо, почти постоянна. Это обстоятельство вновь указывает, что прежде чем строить оценки интересующих нас параметров, имеет' смысл профильтровать имеющиеся в распоряжении данные, с тем чтобы получить почти постоянный спектр. Следующая теорема освещает некоторые аспекты связи между Vp(X), Vp(X) и ^(Х), V-(X).
Теорема 9.4.2. Пусть rxr-матрица спектральной плотности fxx (X) имеет вид
OO
M = (Zj*):1 S с^(и) ехр {-/Ял}, (9.4.10)
U = -оо
где
І |и|8|сн(")1<«>-" (9-4Л1)
U= —оо
Пусть функция W (а) в выражении (9.4.3) для WiT) (а) та-кова, что W (а) = W (— а) и
J \a\*\W (a)\da<oo. (9.4.12)
— OO ~~
Предположим, что все собственные значения (X), / = 1, г, матрицы ixx 0^) различны. Если ВТ —>0 при T—> оо, то для всех j = 1, ..., г
v/» (а) = p., (X) +1 Д5.у7(Я)*-?^- V, (Я)
Х$а2Г (a)da + 0(B3r) (9.4.13)
и
Uf (Я) = vy (X)+1 ? {v^^^-v^a,)}
X V, (Я) &1У (?,) -ц, (X)Jr1 J а-Я7(а) da + О (В3Г). (9.4.14)
Теоремы 9.4.1 и 9.4.2 показывают, что асимптотические отклонения оценок \i(p(X), Vf} (X) очень тесно связаны со степенью гладкости спектральной плотности iXx (a) при а, близких к Я, а также с параметрами BTi фигурирующими в определении весовой функции W(T)(a).
Обратимся теперь к изучению асимптотических распределений для IX^(X) и Vp (К).
Теорема 9.4.3. При выполнении условий теоремы 9.4.1, если для каждого т=1, M собственные значения матрицы
ixx (^m) различны, то величины [i(p (Хщ), Vp (X1n), /=1, г\
9.4. Построение оценок и их асимптотические свойства
377
m = \, ..., М, асимптотически совместно нормальны. При этом Hm B1T W {f*f 4XJ, |4Г> (Kn)} =
(9.4.15)
' 2п J W (a)*da [Л {*,„-Kn} + г) {Kn + Kn}] Иу если j = k,
О
lim B7T COvW(PiJ, (XJ}= О
, если
(9.4.16)
(9.4.17)
lim B1-TcOV {Vf (Кт), Vp(Kn)}=*
t-+оо
r2n\w (ay йац {Кт-Kn}Ь (Хт)'2.1*/
х[|*/ (я-.) - ні (*.)]-% (U ^ЖК
-2я J VF (a)2 <{ат| {Яя + U H (U Li/ (U
X [|*/ (Я-J -1** (U]-2 V, (XJ V7- (Кт)\
если \фку
j9 k=\9 ..., г; т, /г = 1, ..., М.
Эти предельные выражения можно сопоставить с асимптотическими соотношениями в теоремах 9.2.2 и 9.2.4. Асимптотическую независимость величин, зависящих от частот Хт9 Хп9 таких, что \т ±%пф<д (mod 2я), можно было предвидеть, поскольку соответствующие f(xx (Хт) и f(xx (К) асимптотически независимы. Более неожиданным является утверждение теоремы 9.4.3 об асимптотической независимости разных собственных векторов.
Из выражения (9.4.15) вытекает, что
Bj1T'1 (lge)22jx J W (a)2da при X^O(modJt),
Bt1T-1 (lgе)Чл \ W (a)2da при Яе=0 (modя).
(9.4.18)
Полученная формула является аналогом результата (5.6.15) о дисперсии логарифма оценки спектра мощности. Справедливость этой формулы неудивительна, если вспомнить интерпретацию, данную величинам |шу. (X) в теореме 9.3.2: они представляют собой спектры мощности рядов /-Х главных компонент. Выражение (9.4.18) позволяет предположить, что в качестве основной статистики имеет смысл взять не ^p(X)9 а log (л}г> (X).
