Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
P = ?D + а, Q = ?D-a-?', (15)
имеют место следующие коммутационные соотношения
(QP+ K)Q = Q(PQ+ К), (16)
P(QP + К) = (PQ + K)P1 (17)
где К — первый интеграл вида (11) или (12).
б) Система (5) приводима к (7) преобразованием (6).
в) Преобразования (4), (6) таковы, что выполняется условие
T' = ВТ- ТА. (8)
г) Функции ?(x) и а(х) удовлетворяют системе уравнений
a" + (bo - а0)а - 2a0?' - ?a'0 = 0, (9)
?" + (бо - ао)? + 2a' = 0. (10)
д) Система уравнений (9), (10) допускает первый интеграл (ПИ)
a?' - ?a' + а2 + a0?2 = К, или (11)
a?' + ?a' + а2 + ??" + b0?2 = К, (12)
где К — постоянная интегрирования, К J 0 : в противном случае преобразование ЭИД было бы вырожденным.
е) Уравнение (3) преобразованием
a + ?' ? , п„ч
13. Задача Эйлера и преобразование Эйлера-Имшенецкого-Дарбу 119
• (а)=> (б). Непосредственно следует в силу обозначений (4). (б)=> (в). Подставив (6) в (7), получим последовательно T1Y + TY' BTY, T'Y + TAY = BTY, откуда приходим к (8).
(в)=>(г). В развернутом виде запишем матричное уравнение (8)
T' =
a' ?'
?'a0-?a'0 a'+?"
О 1 W а ? \_( a /3WOl
-а0 0 J \ а' - ?a0 а + ?' J \ а' - ?a0 a + ?' )\ -Ь0 0
откуда следует система уравнений (9),(10).
(т)=> (д). Умножим (9) на ?, а (10) - на а и вычтем из второго уравнения первое: a?" — ?a" + 2аа' + 2ao??' + a'0? = 0, откуда следует ПИ вида (11). В силу (10) можно записать ПИ также в виде (12).
(д)=> (е). Из (2) в силу (1) следует уравнение
z' = (?' + а)у' + [а' - ?a0)y,
(коэффициенты которого соответствуют нижней строке матрицы Т).
Разрешая систему, состоящую из (2) и полученного уравнения, относительно у, в силу (11) придём к (13).
(е) => (ж). Обращая преобразование (6), придём к (14) в силу соотношения
detT = К; (18)
(ж) => (з). Действительно, ?2(D2 + а0) = QP + К, ?2(D2 + Ъ0) = = PQ + К, где K=HW. Но тогда очевидны коммутационные соотношения (16),(17)..
13.3. Дополнительные свойства преобразования ЭИД
1. Уравнения, преобразуемые в себя.
Если а и ? заданы произвольно, то
2а' - ?"
60 =?o---?-• (19)
Пусть ао = bo. Тогда
ао = (с - \??" + \?'2)/?2. (21)
а = с — ^?', с = const, (20)
120 глава 2
• В силу (19) получим 2а' + ?" = 0, откуда следует (20). Из (11) имеем
a0 = (K-a-a2?' + a'?)/?2. (22)
С учётом (20) получим выражение для ао (21). • Пример 1. (см. также Heading [323]).
(-?+?*)»-°- <23)
Найдём подстановку, преобразующую (23) в себя. Из (21) получим уравнение для определения ?(x):
0» _ IH _ 2с _ _2 (_п(4-п)\
' 2 ? ? - { я" + ібх2 ) ' { '
Уравнению (24) удовлетворяет функция
? = ахп/2, а2и2 = -с. (25)
При этом а(х) = с — ^апхп12~х в силу (20). Итак, получили подстановку
z={c-^anxnl2-1)y + axnl2y', (26)
преобразующую (23) в себя (с заменой у на z).
Поскольку уравнение (21) для определения ?(x) является нелинейным, то естественным является вопрос о возможности нахождения ?(x) с помощью линейного уравнения.
Предложение 1. Функция ?(x) для автопреобразования ЭИД удовлетворяет линейному самосопряженному уравнению третьего порядка
?"' + Aa0?' + 2a'0? = 0. (27)
• Из (9), (10) получим систему уравнений
а" - 2a0?' - ?a'0 = 0, ?" + 2а' = 0, (28)
откуда следует (27). •
Предложение 2 (Связь с преобразованием КЛ).
13. Задача Эйлера и преобразование Эйлера-Имшенецкого- Дарбу 121
Автопреобразование ЭИД, приводящее уравнение (1) к уравнению z" + + (iqz = 0, т. е. к самому себе, можно представить в виде
z = ?y' + ay= У - ^y, (29)
где и(х) и v(x) = и-1/2 exp(l/2pi J udx) являются соответственно ядром и множителем преобразования KJI у = v(x)Y, dt = udx, приводящего данное уравнение (1) к уравнению с постоянными коэффициентами Y" + + P1Y' +P0Y = O.
• Формула (29) согласуется с (20). Действительно,
2L = _I УІ і I vu 2 2Р1'
где с = — 1/2р\. •
2. Уравнения, преобразуемые друг в друга.
Можно получить уравнение для нахождения ?(x) в общем случае (ао bo) преобразования ЭИД.
Предложение 3. Функция ?(x) удовлетворяет следующему уравнению четвёртого порядка
r _ V-o^ ,„ + 2(6 + + (6, + Ъа, _ 4аУ_а^^,+ о — а о — а
+ (b" + а" + (Ъ - а)2 - b'lZ^ ? = °- (3°)
• . В силу совместности связанной системы (9), (10) можно попытаться исключить одну из переменных а или ? методом дифференциального результанта (см. п. 1.6.2).
Чтобы, например, исключить а(х), мы подействуем слева на уравнение (9) операторами D,D° = 1, а на уравнение (10) — соответственно операторами D2, D1D0 = 1. Получим следующие пять уравнений:
a"' + a'{b-a) + {b' - а')а - а"? - За'?' - 2a?" = 0,
а" + (Ъ- a)oL - a'? - 2a?' = 0, 2а"' + ?m + {b- a)?" + 2(b' - a')?' + {b" - a")? = 0, 2a" + ?"' + (b - a)?' + (b' - a')? = 0, 2a' + ?" + (b - a)? = 0.
122
Глава 2
Составим матрицу из коэффициентов, стоящих при а"', а", а', а, 1, причём определитель этой матрицы должен быть равен нулю.
1 0 b-a Ь'-а! -la?" - а" ? - 3a'?'
