Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
(2а;2/ц+4а;2/2і+2а;/зі)Д3 + + [(5а; - 2а;2)/ц + I2xf21 + (5- Ax)f31 + 2а;2/ю + 4а;2/20 + 2а;/30]Г/2+ + [-AXf11 + (Z-Ax2)f21 + (2x-7)f31 + (x-2x2)f10+Axf20 + (Z-Ax)J30]D+
+ [-8xf21 + 2/зі - /ю - (4а;2 + 1)/20 + (2х - 3)/30] = 0. Система уравнений (5.3) примет вид
/з = 2Ж2/ц + 4ж2/2і + 2xf31 = 0,
/2 = (5а; - 2а;2)/ц + I2xf21 + (5- Ax) f31 + 2x2f10 + Ax2f20 + 2xf30 = 0,
/і = -4а;/іі+(3-4а;2)/2і+(2а;-7)/зі+(а;-2а;2)/і0+4а;/20+(3-4а;)/з0 = 0,
/о = -8a;/21 + 2/зі - /ю - (4а;2 + I)Z20 + (2а; - 3)/30 = 0.
Соответствующая результантная матрица R(L1, L2, L3) такова:
/ 2а;2 4ж2 2а; 0 0 0 \
jj _ І 5а; - 2а;2 12а; 5 - Ax 2х2 Ax2 2х
-Ах 3 - 4а;2 2а; - 7 х — 2х2 Ax 3 - Ax '
V 0 -8а; 2 -1 -(4ж2 +1) 2х - З J
46
Глава 1
Докажем, что ее rank г = 3. Действительно, /о = \ifi + А2/2 + А3/3, где
д _ 8а;2 - 6х + 1 д _ 16а;3 - 20а;2 + 16а; - 3 1 ~ 2х(1-4х) ' 2 ~ 4а;2(1-4а;)
32а;4 - 56а;3 + 84а;2 - 78а; + 15
А, =
Зж3(1 - Ax)
Так как щ = пт = 2, то d = 1, и неравенство (4) выполняется. Система (6) совместна. ПНОД(Хі, L2, L3) находится, используя предложение 5.2, или непосредственно, используя дифференциальный алгоритм Евклида:
ПНОД(ІьІ2,їз) = 2ж?> + 1 - 2х. Соответствующие факторизации таковы: L1 = (xD - l)(2xD + 1 - 2х), L2 = (2xD + 2х - l)(2xD + 1 - 2х), L3 = [D- l)(2xD + 1 - 2а;) = (2xD + 3 - 2x)(D - 1). Система уравнений (6) имеет решение у = С'ех-^—. Подставляя у в третье
уравнение системы (5), мы найдем решение (5) в виде у = —2аех-=-.
\[х
Замечание 1. В ряде случаев условие f = г достаточно для совместности неоднородной системы, что не противоречит теореме 2. Пример 2. Неоднородная система
Г х2у" + ху' - (а;2 + 1/4)у = О,
\ у' — У = ах~3/2ех, ^ '
являющаяся подсистемой системы (5), совместна, и при этом выполняется условие г = г = 3.
Самостоятельный интерес представляет вопрос о совместности системы двух ЛОДУ, которому посвящен следующий пункт.
6.2. Результант двух дифференциальных операторов
Пусть даны операторы
п т
A=Y^, ап фО; B = YhV1, WO; ak,k G F0. (7)
к=0 1=0
6. Аналог теоремы Кронекера-Капелли
47
Определение 1. Правым результантом операторов AnB (ПРез(Д В)) называется определитель соответствующей результантной квадратной матрицы R порядка (т+п). Аналогично, левым результантом операторов АиВ (ЛРез(Д В)) называется определитель результантной матрицы R* порядка (п + т), т. е.
HFeS(A, В) = detR, ЛРез(Д В) = HFeS(A*, В*) = det R*. (8)
Дифференциальный результант отвечает на вопрос, имеют ли операторы (7) общий правый (общий левый) делитель? Иными словами, будет ли совместна переопределённая система Ay = 0, By = 0 (соответственно переопределенная сопряжённая система А*у = 0, В*у = 0)?
По аналогии со способом Сильвестра составления результанта для двух алгебраических полиномов можно сконструировать и дифференциальный результант. Так, чтобы построить ПРез(Д В), подействуем слева на А операторами V™1-1,... ,V7V0 = 1, а на В — операторами D™-1,..., V, V0 = 1. При этом система Ay = 0, By = 0 расширяется вплоть до системы вида
n+s т+р
J2ak,sV{k) =0, s = 0,m-l, J2hPy(l)=0, р = 0,п-1, (9) fe=o г=о
коэффициенты которой а,к,а и &г,р вычисляются согласно предложению 1.2 по формулам
1fe,s =
і—' \ I I " ' <¦—' \ 1
г=0 v ' J=O KJ
Систему (9) можно рассматривать также как однородную систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных y(«+m-i)^ у/ у Матрица коэффициентов этой системы есть R, а det R = HFes(A,B):
<^n+m —l,m —1 ^п+т — 2,т — 1 • • • <^0,т — 1 0 ?«+m-2,m-2 • • • ?0,m-2
0 ... GSn1O Я0,0
^m+n—l,n—1 Z)7n^n—2,п—1 • • • Z>o,n—1 0 &и+т_2,п-2 • • • &о,п-2
ПРез(Д В) =
0 &т,0 Ьоо
(H)
48
Глава 1
Выражение (11) обращается в нуль, если система Ay = 0, By = 0 совместна (операторы (7) имеют общий правый делитель). Если ПРез(А, В) ф О, система Ay = 0, By = 0 несовместна.
7. Условия коммутативности двух дифференциальных операторов взаимно простых порядков
7.1. Основная теорема
Прежде всего отметим, что операторы MnL коммутативны, если каждый из них можно представить в виде соответствующего алгебраического полинома от одного и того же оператора. Однако это условие в общем случае не является необходимым.
Теорема 1 (Burchnall, Chaundy [287]). Для того чтобы операторы L порядка п и M порядка т, где пит — взаимно простые числа, были коммутативны, необходимо, чтобы система дифференциальных уравнений
была нетривиально совместной, причём между спектральными параметрами А и а (соответственно между операторами L и M) существовало алгебраическое соотношение
степени т относительно А и степени п относительно р (соответственно степени т относительно L и степени п относительно М).
Набросок доказательства. Совместность системы (1) является по существу результатом, вытекающим из линейной алгебры. В свою очередь условие совместности можно выразить с помощью понятия дифференциального результанта. Действительно, для того чтобы система (1) была совместной, необходимо: ПРез(? — A, M — р) = 0, откуда следует соотношение (2).
