Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
8. Теоремы существования и различные формы факторизации операторов п-го порядка
8.1. Основные понятия
Обозначим через F0 [D] кольцо операторов L = Y^asDs, s = 07п, as Є F0, где F0 — основное дифференциальное поле функций одной вещественной переменной X над алгебраически замкнутым полем к констант
характеристики нуль (т.е. -Fo — поле, и дифференцирование D = = (')
переводит F0 в себя, причём с' = 0, если с Є к). В частности, F0 может быть полем к(х) рациональных функций от х.
Как показано ранее, кольцо -Fo \Р\ является ассоциативным кольцом, не имеющим делителей нуля и факторизуемым неоднозначно.
Определение 1 (Singer [403], Беркович [50]). Будем говорить, что E является эйлеровым расширением (Э. Р.) поля Fo, если существует башня полей Fo С F\ С ... С Fn = E такая, что выполнено одно из условий:
1) Fi = Fi-i(а), где Fi-i является полем рациональных функций от
а с коэффициентами из Fi_i, причём а' Є F^_i (т.е. Fi получено из Fi-\
присоединением интеграла от элемента поля Fi-і);
і
2) Fi = FW(а), где а ф 0 и 2L є (хе. F1 получено из F^1 присоединением экспоненты интеграла от элемента поля Fi_i);
8. Теоремы существования. .. 53
3) Fi = Fi_i(a), где а — алгебраический над Fi-i элемент (т. е. а удовлетворяет алгебраическому уравнению степени п ^ 2 с коэффициентами из поля Fi-і);
4) Fi = -Fj-1(2/1,2/2), где 2/1, 2/2 — линейно независимые решения линейного уравнения 2-го порядка
у" + aiy' + а0у = 0, ai,a0GFj_i. (*)
Если выполняются условия 1), 2), имеем лиувиллево расширение (Л. Р.) Л поля Fq, а если выполняются условия 1), 2), 3), то имеем обобщённое лиувиллево расширение (О. Л. P.) Ло поля Fq.
Таким образом, E включает в себя как Л, так и Ло (см. также Liouville [353-355]).
Определение 2 (Капланский [142]). Расширением Пикара-Вессио PV ЛОДУ
П
Ly = Y,asy{s) =0, aseF0 (1)
s=0
называется дифференциальное поле F0(2/1,2/2, • • •, уп), где 2/i, 2/2, • • •, Vn образуют фундаментальную систему решений ФСР уравнения (1), причём PV содержит алгебраически замкнутое поле констант характеристики нуль.
Определение 3. Уравнение (1) интегрируется в конечном виде через квадратуры, если PV С Л или PV С A0.
Определение 4. Уравнение (1) интегрируется в терминах уравнения (*), если PV С Е.
8.2. Общие результаты
Будем рассматривать ЛОДУ (1), где as G Cf, s = 0, п — 1, ап = 1,Cf-пространство s раз дифференцируемых функций в интервале I вещественной переменной х, а
п-1
L = Vn + YjasVs (Iі)
s=0
— соответствующий дифференциальный оператор.
Теорема 1 (Mammana [366]). Всегда возможно и притом бесконечным числом способов факторизовать уравнение (1) через операторы 1-го порядка:
і
Ly= Ц(Р-ак)у = 0, к=~~ї, (2)
к=п
где ak — комплекснозначные функции от х.
54
Глава 1
Поскольку исходные коэффициенты — вещественные функции, то важная роль принадлежит также вещественной факторизации уравнения (1) (оператора (I1)).
Определение 5. Решение у(х) уравнения (1) называется неколеблющимся в /, если оно имеет в / не более, чем п — 1 нулей с учётом их кратности. В противном случае решение у(х) называется колеблющимся в I.
Теорема 2 (Mammana [366]). Для того, чтобы существовала в I факторизация (2), где ctk — достаточно гладкие вещественные функции, необходимо и достаточно, чтобы любое решение у(х) уравнения (1) было неколеблющимся.
Доказательства теорем 1 и 2 можно найти в книге Сансоне [212]. Случай п = 2 подробно рассмотрен в работе (Беркович [32]).
Обе приведённые выше теоремы не являются, вообще говоря, эффективными.
Лемма 1 (дифференциальный аналог формул Виета). Между «корнями» ctk и коэффициентами as существуют следующие соотношения:
п fc=l
l^i<j^n S=I
• Используется непосредственный счёт. •
При п = 2 имеем V2 + а\Т> + ао = (V — U2)[T) — а\), откуда
GSl = + OL2), GSo = OLlOL2 — а[.
При п = 3 имеем V3 + Ci2V2 + ciiV + ао = [J — Ol3)(V — a2)(V — ai), откуда
Cl2 = —(«і + CX2 + CX3),
GSi = QiCt2 + aia3 + а2а3 — 2a'i — ol2,
ао = —CiIOL2Ci3 + OLiCi2 + OLiOL3 + «1cx2 — Ce".
Для различных целей бывают полезными и другие формы факторизации, отличные от (2).
Предложение 1 (см., например, Беркович [32]). Если L допускает факторизацию (2), то имеют место также следующие факторизации:
ехР,/^)п
k=n
V ехр - I (ctk- atk-i)dx
а0 = 0, (4)
Теоремы существования .
55
к=п
V
wkwk.
, W0 = WL1 = 1,
к=п
dlnWk
dx Wk-j
(5)
(6)
где Wk = Wk(x) есть вронскиан для к линейно независимых решений 2/1,...,?/? (к = 1, п) уравнения (1).
• Прежде всего получим формулу (4). При п = 1 легко проверяется,
что
V — аг = ехр I / ct\dx I Vехр ( — / ct\dx
(7)
Применяя метод индукции, предположим, что
1 / P \ 1
V ехр
fc
Д (V-ctk)=exp[ ctn-xdx) Д Vexp[- (ctk-ctk-i)dx
—n-l \J ' k=n-l I \ J
Умножим обе части (8) слева на V — а. С учётом (7) получим
Y\ (V - ак) = ехр ( / ctkdx J V ехр ( - / akdx J Д (V - ак) =
к=п ^ ' \ ' к=п-1
