Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.
Скачать (прямая ссылка):
V(q > p) : H(D) С HP(D) , V(p > 0) : Hp(D) С L2(D). Теорема 6.4.6. При q > p вложение
Hq (D) — HP(D)
компактно.
Утверждение теоремы означает, что множество
Bq = {ф | ф Є Hq(D) , ||ф | Hq(Rd)||< 1} компактно в метрике пространства HP(Rd),
p > 0
В этом случае распределения можно отождествить с функциями, которые задают эти распределения. Доказательству теоремы мы предпошлем несколько лемм.
Лемма 6.4.2. Справедлива оценка:
Є Bq , q>p): J |J(?)|2(1 + |?|2)Pd? < (1 + R2)P-q. \i\>R
Доказательство. Имеем:
/ we)|2(1 + |d2)Pde = J m)|2(1 + |e|2)P-q(1 +|e|2)qdi <
\i\>R \i\>R
(1 + R2)P-q j |?(?)|2(1 + |?|2)qde < (1 + R2)P-q.
Лемма 6.4.3. В любом фиксированом шаре {? | |?| < R} множество функций {ф(Є) | Ф(Є) Є Bq} равностепенно непрерывно и равномерно ограничено.
457
Доказательство. Пусть k(x) -функция типа "гриб" и
k(x) = 1, x Є D.
Тогда
V(ф Є B9) : ф(x) = ft(x^(x), <?(C) = J K(C - n)<?(n)dn
|fe)|2 < (/ - П)|2(1 + M2)-9x |?(n)|2(1 + |n|2)qd»/) < j - n)|2dn = const.
№ - П) - ?(6 - n)|2(1 + |n|2)-qdn < J exp(6 - 6 , n) - 1|2dn.
Лемма доказана.
Лемма 6.4.4. Если {фп} С B9, то для любого б > 0 последовательность {фга} содержит такую подпоследовательность {ф^}-"
Ш С {фга},
что выполнено условие
3N, V(n > N, m > N) : |ф - | Hp(Rd)|| < б. Доказательство. Имеем:
||фга - фт | HP(Rd)||2 =
У |Jn(C) - ?m(Є)|2(1 + |C|2)PdC + / |фта(?) - Jm(C)|2(1 + d? <
|«|<? |«|>?
4(1 + R2W |фга(С) - Jm(?)|2(1 + |C|2)pdC.
|«|<?
Теперь мы поступаем так: сначала мы выбираем R достаточно большим, а потом при фиксированном, R мы выбираем го поеледовательности {фга} такую подпоследовательность {ф^}, которая равномерно сходится в шаре
458
{Є | |Є| < R}- Полученная подпоследовательность удовлетворяет условиям леммы.
Перейдем к доказательству теоремы. Нам нужно доказать, что любая последовательность {фп} С Bq содержит подпоследовательность, кото-
HP(Rd)
6(Ш) — 0 , m — то, {фП(т+1)} С {фП(т)} С {фп}
-последовательности, существование которых гарантировано предыдущей леммой. Последовательность фП(п) -искомая. Теорема доказана.
459
6.5 Коментарии и литературные указания. 6.5.1 Преобразование Фурье.
Приведем вывод относящихся к преобразованию Фурье формул. Ниже символ
J...dx
означает интеграл по пространству Rd, Имеем:
exp(—ax2)dx = (n/a)d/2 , J exp(—ax2 + x?)dx = j exp(—a(x — ?/2a)2 + ?2/4a)dx) = (n/a)d/2 exp(?2/4a), аналитическое продолжение:
exp(—ax2 + ix? )dx = (n/a)d/2 exp(—?2/4a),
exp(—?2/4a) = (a/n)d/2 j exp(—ax2 + ix?)dx ,
(4nt)-d/2 exp(—(x — y)2/4t) = (27r)-dy exp(—tz2 + iz(x — y))dz,
(4nt)"d/^ exp(—(x — y)2/4t)/ (y)dy = (2п)-^ (/ exp(—tz2 + iz(x — y))/ (y)dy)dz
(n)-d/2 jexp(—z2)/(x + 2v^?z)dz = (2n)-^ exp(—tz2 + zxz)F(/ )(z)dz.
Переходя в последнем неравенстве к пределу t — +0, получаем формулу обращения:
/ (x) = (2n)-d / exp(zzx)F (/)(z)dz.
Отсюда следует равенство Парсеваля:
/(x)*g(x)dx = (2п)-^У /(x)*( / exp(—ixz)F(g)(z)dz)dx = (2n)-d / F(/)*(z)F(g)(z)dz.
460
6.5.2 Литературные комментарии
С математической точки зрения теория распределений -это специальный раздел теории линейных топологических пространств, в рамках которой результаты теории распределений приобретают естественный и законченный вид. Введение в теорию линейных топологических пространств есть в книгах [30], [41],[40]. Доступное для начинающих учебное пособие по теории распределений -книга [39].
461
462
J. J-ри лсюкєниє .А.
Приложение
АЛ Преобразование Вейля.
Преобразование Вейля (по другой терминологии -отображение Вейля или вейлевское квантование) было введено в ранних работах по квантовой механике как алгоритм, который функции на фазовом прстран-стве (классической наблюдаемой) ставит в соответствие оператор в гильбертовом пространстве (квантовую наблюдаемую). Вейлевское квантование обратимо: каждый оператор Гильберта-Шмидта в гильбертовом пространстве есть преобразование Вейля функции на фазовом пространстве (эта функция обычно называется вейлевским символом оператора). Это обстоятельство лежит в основе метода фазового пространства в квантовой механике, при котором операторные уравнения движения в форме Гейзенберга заменяются уравнениями (обычно интегродифференциаль-ными) для вейлевских символов операторов. Метод фазового пространства и его модификации широко используются в задачах статистической физики, физике твердого тела, квантовой оптике, теории столкновений и т. д. Связанный с преобразованием Вейля математический аппарат получил применения в теории представлений групп, теории вейвлет преобразования, теории дифференциальных уравнений и вычислительной математике.
В теории преобразование Вейля исходным объектом является фазовое пространство, которое в простейшем случае есть прямая сумма линейного пространства L и его сопряженного L*. Мы рассмотрим случай, когда линейное пространство есть Rd и его сопряженное отождествлено с Rd. Таким образом, в рассматриваемом нами случае фазовое пространство есть пространство
R2d = Rd Є Rd. (A.l)
463
Второе слагаемое в (А.1) рассматривается как пространство, сопряженное к первому слагаемому, поэтому в рассматриваемом нами случае переход от одного ортонормированного базиса к другому в фазовом пространстве пространстве осуществляется с помощью матрицы вида
