Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Тогда полином
Qo(A) = c (1 - а*А)
1 < j <n
удовлетворяет условиям леммы. Положим
T = {0 \ 0 = (01,... Od) Є Rd , 0 < 0j < 2п}, (6.66)
c(0) = а(т) exp(i(0 , m)), m Є Zd, (6.67)
|m|=N
d0 = d01... d0d. Лемма 6.3.3. Если выполнено условие (6.62), то
/' c(0) \ d0 * СИ, <6'68'
где C0(N, d) -зависящая толь ко от N w d константа. Доказательство. Справедливо неравенство
\ c(0)\ < Y \ а(т) \ < Co(N,d)A(P),
\m\=N
где C0(N , d) -число размещении N неразличимых предметов по d ящикам,
C0 (N , d) = cN+d+1.
Отсюда следут, что
С (^d)A(p) SX ^N^W Xd0 > -4(р )/с^ d).
Лемма доказана.
Дифференциальному оператору (6.61) поставим в соответствие полином
" )zm ЕЕ
P (z) = а(га);
0<\m\<N
а(ть...тт*)zr ...z^. (6.69)
0<m<N
433
Определим функцию
V(O Є T) : w(0) = {exp(z0i),... ,ехр(г^)} Є Cd.
Лемма 6.3.4. Для любой целой функции F(z), z Є Cd и любого полинома P(z) справедливо неравенство
IF(z)I < C(A^)d) I IF(z + w(0))P(z + w(0))|d0. (6.70)
Доказательство. Положим
f (A) = F(z + Aw(0)) , Q(A) = P(z + Aw(0)) , А Є C1.
Заметим, что старший коэффициент многочлена Q(A) (коэффициент при AN) равен определяемой равенством (6.67) функции c(0).
Q0(A)
Qo(0) = c(0) , |Qo(exp(«0o)| = |Q(exp(i0o))| , 0 < 0o < 2n.
Существование такого многочлена гарантировано леммой 6.3.2. В силу леммы 6.3.1 справедливо неравенство
1 [2п
— / |F (z + exp(z0o)w(0))P (z + exp(«0o)w(0))|d0o = 2n Jo
|f (exp(^0o))Q(exp(^0o)|d0o =
|f (exp(^0o))Qo(exp(^0o)|d0o > |f(0)||Qo(0)| =
|F (z)||c(0)|.
Проинтегрируем это неравенство no d0 и учтем, что в силу периодичности функции w(0) интеграл
— / |F(z + exp(«0o)w(0))P(z + exp(z0o)w(0))|d0
0o
Лемма доказана. Пусть
z Є Cd , z = Rez + ilmz, Rez Є Rd , Imz Є Rd.
434
Лемма 6.3.5. Преобразование Фурье функции ф Є V есть целая функция, которая удовлетворяет оценке
Є V ,supp ф Ш K , N) , 3(Ci(K , N) , C2(K , N)) : |F(ф)^)|
< Ci(K, N)exp(C2 (K , N )|1mz|)(1 + |Rez|2)-N ||ф | (2N , V(Rd) ,K )||,
(6.71)
где константы C1(K , N), C2(K , N) зависят только от N и компакта K = {x | x Є Rd , |xj| < а}, содержащего носитель функции ф.
Доказательство. Имеем: F(ф)^) = [ exp(-i(z , x)^(x)dx =
Jk
/ exp(-i(Rez, x))exp((1mz, x)^(x)dx, K
(1 + |Rez|2)N F (ф)(z ) =
/ ((1 - Ax)N exp(-i(Re z , x))) exp((1mz , x)^(x)dx = Jk
exp(-i(Re z , x))((1 - Ax)N exp((1mz , x)^(x))dx,
K
+ |Rez|2)NF(ф)(z)| Л - Ax)Nexp((1mz, x)^(x))|dx <
K
C1(K, N)exp(C2(K, N)|/mz|)|^ | (2N , V(Rd) ,K)||.
Лемма доказана.
Из оценки (6.71) вытекает
V
V3 ф д||ф | B(V)| := J |F(ф)(? + w(0))|d?d0,
RdxT
который удовлетворяет условиям нормы, причем
||фга | B(V) ||д 0прифп Д 0. (6.72)
B(V) V | | B(V)| B(V)
L(P) := {0 | 0 = Pр)ф , ф Є V}. (6.73)
435
Лемма 6.3.7. На, линейном многообразии L(P) корректно определен линейный функционал
У(ф ЄV): lo(PШ) = ф(0), (6.74)
и этот функционал, па, многообразии L(P) удовлетворяет оценке
У(ф Є L(P)) : \lo(pp)\ < C(P)Hp \ B(V)H, (6.75)
C( P) P
Доказательство. Для того, чтобы доказать, что функционал (6.74) определен корректно, нам достаточно доказать, что из
P(D^ = P(D^ }ф, Є V (6.76)
следует, что
ф1 = ф2.
Возьмем преобразование Фурье от обеих частей равенства (6.76) и рассмотрим это преобразование в комплексной плоскости. Получим:
V(z Є Cd) : P(z)F(ф1)(г) = P(z)F^)(z).
V
функция, то из этого равенства следует, что
F (ф1 )(z) = F ^)(z),
а отсюда следует (6.77).
Теперь докажем оценку (6.75). Пусть
pp = P(D^, ф ЄV.
Имеем:
lo (pp) = l(P Ш) = ф(0), ф(0) = (2п)-^ F(ф)(?)<%,
Rd
\w)\ < j\f шт.
Rd
436
Далее мы воспользуемся леммой 6.3.4 и неравенством (6.70). Получим:
где С(P) -некотрорая константа, зависящая только от полинома P. Лемма доказана.
Замечание. При доказательстве корректности определения функционала I0 следует иметь ввиду, что множество нетривиальных решений уравнения
не пусто, но, как показывает доказательство леммы 6.3.7, это множество
V.
V
функционал I, который на многообразии L(P) совпадает с функционалом I0.
Доказательство. Из теоремы Хана-Банаха и леммы 6.3.7 следует, что на пространстве B(V) существует линейный функционал /, который на многообразии L(P) совпадает с функционалом I0 и на всем пространстве B(V) удовлетворяет оценке
Так как V С B (V) то функцио нал / определен на всем пространстве V
функционал / непрерывен на V.
Следующая теорема называется теоремой Мальгранжа-Эренпрайса.
Теорема 6.3.1. У любого ненулевого дифференциального оператора с постоянными коэффициентами в пространстве V существет фундаментальное решение.
P (Р>)ф = 0
Є B(V)): \ /(ф) \ < С(P)||ф! B(V)H.
(6.78)
437
Доказательство. Докажем, что таким фудаментальным решением является функционал
E := l • inv, (6.79)
l
и inv оператор инверсии:
im^(x) = ф(—x).
Имеем
У(ф Є V) : P(D)E(ф) = E(P(—D^) = l(invP(—D^) = l(P (D)im^) = ітф(0) = ф(0) = 6(ф).
Теорема доказана.
В пространстве V фундаментальное решение не единственно. Пусть
Np = {z \ z Є Cd , P(z) = 0}
Пусть ?(dz) -мера с компакным носителем, которая сосредоточена на многообразии AfP:
