Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Q
Получаем:
? : 4? + 4? 2? ,
2?(—q — ?'— ip — in) = 2?a, a = (—q — ?'— ip — in');
2 1 2 і 1 2 1 2
n : 4n + 4n = 2n ,
n : —1 np — 2nn' + in?' + inq = 2nb, b = —p — n' + i? + iq,
Q(? = 0 ,n = 0) = 4(q2 + p2 + ?'2 + n'2).
Замечаем, что в полученых равенствах
22 a2 = — b2.
477
Вычисляем интеграл по dCdq. Получаем:
exp(—Q)dCdq = (2n)dexp(—Q(O , 0)) = (2n)d exp(—4(q2 + p2 + C72 + q'2)).
Третье утверждение доказано. Положив в нем q = 0 , p = 0, получаем последнее утверждение.
Лемма доказана.
Положим
eo(x) = (n)-d/4exp(—х2/2) , х Є Rd. (А.34)
W(q , p)
Справедлива
Лемма А.2.2. 1. Для любого набора точек векторы
W(qj , pj)eo , qj 0 pj Є Rd 0 Rd , 1 < j < N
линейно независимы в L2(Rd , dx). 2. Справедливы равенства
< eo , W(q, p)eo >= exp(—(q2 + p2)/4); (A.35)
< W(qfc , pfc)eo , W(qj , pj)eo >=
exp(—((qj — qfc)2 + (pj — pfc)2)/4 — i<j(qj 0pj , qfc 0pfc)/2). (A.36) 3. Если
j] \«j\2 > 0 , qj 0 pj = qfc 0 pfc j = k (A.37)
1<j<N
mo
j] akaj exp(—((qj — qfc)2 + (pj — pfc)2)/4 — i^(qj 0 pj , qfc 0 pfc)/2) > 0.
1<j,fc<W
(A.38)
Доказательство. Первое утверждение очевидно. Второе утверждение следует из формулы (А. 13) и формулы
< W(qfc , pfc)eo , W(qj , pj)eo >=< eo , W(qfc , pfc)*W(qj , pj)eo >=
< eo , W(—qfc , —pfc)W(qj , pj)eo >=
exp(—ia(qj 0 pj , qfc 0 pfc)/2) < eo , W(qj — qfc , pj — pfc)eo > .
478
Третье утверждение леммы следует из перого утверждения и равества
11j] ajW(qj ,pj)eo|2 =
j] akaj exp(—((qj — qfc)2 + (pj — pfc)2)/4 — i^(qj 0pj , qfc 0pfc)/2).
Лемма доказана.
Переходим к доказательству теоремы. Пусть a0 Є H -такой вектор, что
ao = Pao , II ao 11 = 1.
P
тор. Пусть L -множество всех конечных линейных комбинаций векторов W(qj , pj)a0. Множество L -это линейное подпространство в H, которое инвариантно относительно операторов W(q , p) и состоит из векторов вида
a = j] ajW(qj , pj)a0. (A,39)
j
В силу утверждения 3 предыдущей леммы векторы W(qj , pj)a0 линейно независимы и для каждого вектора a Є L представление (А,39) единственно.
Определим линейный оператор
U : L — L2(Rd , dx)
равенством
UW (qj , pj )a0 = W(qj , pj К (A.40)
Это определение корректно в силу линейной независимости векторов W(qj , pj)a0-
U
условиям:
V(a Є L) : IIUa I L2(Rd , dx)|| = ||a I H||, UW(q , p)a = W(q , p)Ua , Cl(UL) = L2(Rd , dx).
Пусть
H0 = ci(L).
479
Пространство Ho -нетривиальное подпространство в H, которое удовлетворяет условию:
V(q Ф V) : W (q,p)Ho = Ho,
поэтому
Ho = H.
UH заданного формулой (А,40) н пространстве L, Это -искомое отображение. Теорема доказана.
Если не делать предположения 4, но предположить, что пространство
H
H
H = Ф Yl Hj.
0<j<oo
Ho W(q , V)
постранствах Hj , j > 1 оператop W(q , p) унитарно эквивалентен опера-W(q , V)
480
А.З Указатель обозначений.
Обозначения, связанные с теорией множеств.
Мы предполагаем, что читатель знаком е основными понятиями теории
множеств в объеме первых глав книг [1], [2].
Символ A С] 5 обозначает пересечение множеств AhB,
Символ A U Б обозначает объединение множеств ^Б,
Если A С X, то дополнение множества AbX мы обозначаем символм
C(A) := X \ A.
Формулы де Моргана в этих обозначениях имеют вид
C(IJ Aa) = H C(A«) , C(H Aa) = U C(A«). (А.41)
Символ (ж) означает множество, общий элемент которого обозначен символом ж. Символ
(ж | Ь1(ж), 62(ж) ...),
где Ь1(ж), Ь2(ж)... -булевские выражения, означает множество всех ж, для которых булевские выражения Ь1(ж), Ь2(ж)... принимают значение "истина". Символ
(/(ж) | Ь1(ж) ,62(ж),...)
обозначает множество всех тех значений функции /(ж), которые она принимает при тех ж, для которых все булевские выражения Ь1(ж), Ь2(ж),... принимают значения "истина". Символ
а = sup(/(ж) | Ь1(ж), Ь2(ж), ...)
означает, что точная верхняя грань вычисляется по тем значениям переменной ж, для которых булевские выражения Ь1(ж) , Ь2(ж), ... принимают значения "истина". Аналогичное правило применяется при указании области изменения переменных при вычислении точной нижней грани и
A
лом
I(A | ж) =(1 ,ж Є A; V 1 ; j 0 , ж І A.
481
Мы исползуем это же обозначение для того случая, когда множество A задано булевским выражением 61(х):
s I 1 , 61(х) = truth; I(61(x) \ х) = •( '
10 , 61(х) = false.
Если AhB -булевские выражения, то выражение
A == B
используется для обозначения утверждения: из A следует B, а выражение
A B
A
B
^ clef
Символы := , = обозначают равенство по определению.
При написании формул мы старались придерживаться следующей схемы: выписанные через запятую кванторы и булевские выражения, которые определяют область изменения переменных в высказывании, знак : , высказывание.
Строка
V(a, 6, ...) , 3(с, ...) :
читается так: для всех a , 6, ... существуют такие c , d, ..., что .... Строка
V(61(x) , 62(y) ,...) , 3(c,d,...) :
читается так: для всех тех значений переменных х , y.....при которых
булевские выражения 61, 62, ... принимают значение "истина", существуют такие c, d, ..., что ...
Символы использованы для обозначения логического "или" и
