Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.
Скачать (прямая ссылка):
У] \ < ej, Tej > \2 < то,
i, j
поэтому ряд
u(C , q) := (2n)d/2 < ej, Tej > z* j(C , q) (A.23)
сходится в пространстве L2(Rd 0 Rd) и функция
a(q,p) := F"1(w)(q,p) (A.24)
принадлежит пространству L2(Rd 0 Rd), Имеем:
V(i, j) : < ej, Tw(a)ej >= (2n)-^ u(C , q) < ej, W(C , q)ej > dCdq = (2n)-d/2 < z*; j , и >=< ej, Tej > . Следовательно,
T = Tw (a).
Теорема доказана.
T
зовать к более привычному для физика виду. Имеем:
a(q , p) := (2n)d/2FCT-^^ < ej, Tej > z\tj(C , q) j (q , p) =
F.-1 (і] < ej, Tej >< W(C , q)ej , ej > j (q , p) = F-1 < W (C,q)ej ,Tej >j (q,p) =
F-1 < ej , W(C , q)*Tej > j (q , p) = F^(Sp(W*(C , q)T))(q , p).
472
Изучим связь между композицией операторов Гильберта-Шмидта и их вейлевскими символами. Пусть
а є S(Rd Ф Rd) , b є S(Rd Ф Rd). (A.25)
Вычислим
Tw(а) • Tw (b) =
j F(а)(Єі Ф T11)F0(b)(6 Ф n2)W(Єї, Vi)W(Є2, V2)dCidmdC2dv2 =
j Fo(а)(Єі Ф Vi)Fa(Ь)(Є2 Ф V2) exp(-i1 <т(Єі Ф Vi, 6 Ф /72))* W(Єї + Є2 ,Vi + V2)dCidvid^2dv2 =
У Fo(a)(?i Ф Vi)Fo(Ь)(Є2 - Єї Ф V2 - Vi) exp(-i1 <j(?i Ф Vi, Є2 Ф V2))* W(Є2, V2^idV^dV2 = Tw (а © b),
где
а © b(q , p) := F"i(Fa(а) о Fa(b))(q , p), Fa(а) о Fa(Ь)(Є Ф V) =
j Fa(а)(Є! Ф Vi)Fa(Ь)(Є - Єї Ф V - Vi) expH1 <г(Єі Ф Vi, Є Ф v))dЄldVl.
Если выполнено условие (А.25), то а © b є S(Rd Ф Rd). Из равенства
Tw (а) • Tw (b) = Tw (а © b) следует, что бинарная операция
(а ; b) — а © b
ассоциативна (что можно проверить и прямой выкладкой) и линейна
S(Rd Ф Rd)
©
а — Tw ( а)
есть представление этой алгебры операторами Гильберта-Шмидта.
473
А.2 Теорема Дж. фон Неймана о единственности
представления КПС в форме Вейля
U(q) , V(p)
W(q , p)
творяет соотношениям (А,14)-(А,15), которые, очевидно, эквивалентны каноническим перестановочным соотношениями в форме Вейля (А,6)-(А.8). Оказывается, что соотношения (А,14)-(А,15) определяют операторную функцию W(q , p) (а потому и операторы U(q), V(p)) с точностью до унитарной эквивалентности. Соответствующее утверждение доказано Дж, фон Нейманом в 1931 году (Johann von Neumann (1903-1957), современное произношение этой фамилии на русском язые -Нойман, американское написание имени: John Von), В математическом фольклоре соответствующая теорема называется теоремой Дж, фон Неймана (Ной-мана) о единственности шредингеровсого представления КПС (канонических перестновочных соотношений) в форме Вейля, Приведем одну из редакций этого утверждения,
H
торная функция,
W: Rd 0 Rd э q 0 p — W(q , p) Є L(H — H),
которая, удовлетворяет условиям: W(q , p)
W (q,p)* = W (—q, —p).
W(q , p)
топологии. Это означает, что V(V Є H) функция, Rd 0 Rd э q 0 p — W(q , p)V Є H H
3. Выполнено тождество: V(qi 0 pi Є Rd 0 Rd , , q2 0 p2 Є Rd 0 Rd) :
W(qi , pi)W(q2 , p2) = exp(—|<j(qi 0 pi , q2 0 p2))W(qi + q2 , pi + p2)• H
mopoe инвариантно относительно всех операторов W(q , p).
474
Тогда существует такой унитарный оператор U: U: H — L2(rd , dx),
что
v(q, p): W(q,p)U = UW(q, p).
Доказательство этой теоремы потребует от нас только умения вычислять гауссовы интегралы и основано на следующей лемме Неймана.
Лемма А.2.1. Если выполнены, условия теоремы, то оператор P := (27r)-dy ехр(-(Є2 + V2)/4)W(Є, VRdV
удовлетворяет условиям,:
1. P* = P. (А.26)
2.P = 0. (А.27)
3. v(q,p): PW(q,p)P = exp(-(q2 + p2)/4)P. (A.28)
4. P2 = P. (A.29)
Доказательство леммы проводится прямой выкадкой. Доказываем первое утверждение. Имеем:
P* = (2n)-d / ехр(-(Є2 + v2)/4)W(Є , v)*dЄdv = (2п)-^ехр(-(Є2 + v2)/4)W(-Є, -V»v = (2п)-d Jехр(-(Є2 + v2)/4)W(Є , v)dЄdv = P. Доказываем второе утверждение. Имеем:
W(q , p)P = (2n)-d У ехр(-(Є2 + V2)/4)W(q , p)W(Є , V^V = (2n)-d/ехр(-(Є2 + ,2)/4 - ,°(q ф,, Є ф V)/2)^K + q, v + ^
Делаем замену переменных в интеграле и учитываем кососимметричность билинейной формы о:
Є — Є - q,v — v - V
o(q ф V , Є ф V) — o(q ф p, Є - q ф V - V) = o(q ф p, Є ф v).
475
Получаем:
W(q , p)P = (2n)-d у exp(-Q)W(f , n)dfdr (A.30)
где
Q = ((f - q)2 + (і - p)2)/4 + io(q ф p , f ф r)/2). (A.31)
Если
P = 0,
то
V(q ф p,f,i) Є H): <0,W (q,p)P^>= 0
и
(q, p) := (27r)-dy exp(-Q) < ф, W (f , і|)ф > dfdi| = 0.
Преобразуем интеграл
J<H (q,p) = (2n)-d exp(-4(q2 + p2))x f f2 + T2 1 1 ~
exp(--4— + 2f(q - ip) + 2r(p - iq)) < ф, W(f, п)ф > dfdr|
(A.32)
Так как функция
(f,T) —<0,W (f,r#> (A.33)
непрерывна и оганичена, то интеграл (q , p) сходится при всех комплексных q Є Cd , p Є Cd, в частности и на многообразии
(q - ip) Є Rd , (p - iq)) Є Rd.
Отсюда следует, что преобразование Фурье функции
f2 + т2 ~
(f , п) — exp(--4—) < ф , W(f , і|)ф >
тождественно равно нулю и поэтому функция (А,33) тождественно равна нулю V^, ф Є H), чего быть не может, если оператор W(f, і|) не есть
0
476
Переходим к доказательству третьего утверждения, Имем: PW(q, p)P =
(2п)—2d [ exp(—Q)W(?', n')W(? , n)d?dnd?W
где
Q = ((? — q)2 + (n — p)2)/4 + i^(q 0p , ? 0 n)/2) + (?/2 + n/2)/4.
Ho
W(?', n')W(? , n) = exp(—i<7(?' 0 n', ? 0 n)/2)W(?' + ? , n' + n), поэтому
PW(q,p)P = (2тг)—2d/( Jexp(—Q)d?d^ W(?' ,n')d?'dn',
где
Q = ((? — q)2 + (n — p)2))/4 + i<r(q 0p, ? 0 n)/2) + ((?' — ?)2 + (n' — n)2)/4 + i<r(?' 0 n', ? 0 n)/2.
