Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим векторные поля XiC гамильтонианами (дг, . . д„). Докажем, что эти поля касаются слоев расслоения. Действительно, dQi —ш (Xil I), поэтому линейное пространство, порожденное всеми касательными к слою векторами 5 и еще вектором Xi в][касательном пространстве TeE к пространству расслоения в какой-либо точке, изотропно (ш=0). Но касательное пространство к слою — уже лагранжево (максимальное изотропное) подпространство в линейном симплектическом пространстве TeE. Поэтому вектор Xi касается слоя.
Мы заключаем, что функции gt находятся в инволюции:
(qit = со (X,., Xj) = 0,
так как расслоение лагранжево. Следовательно, поля Xi, Xj ком-му тир у ют, а значит^ коммутируют и их фазовые потоки.§ 18]
лагранжевы особенности
235
Выберем какой-либо лагранжев росток в изучаемой точке, трансверсальный слою. Определим функции P1, . . ., рп в окрестности этой точки так: двигаясь от точки выбранного лагранжева ростка в течение времени J1 вдоль поля —X1, времени t2 вдоль поля —X2 и т. д., мы приходим в точку, в которой P1=^t1, P2 = = t2, . . .
Ростки функций Ip1, . . . , ра; Q1, . . ., qn) образуют локальную систему координат, в которой наше расслоение задается формулой (р, q) і—> q.
Рассмотрим пересечения поверхностей уровня функций Pi' ¦ ¦ ч Pn- Это — сдвиги выбранного трансверсального слоя лагранжева многообразия посредством симплектических диффеоморфизмов. Следовательно, пересечения лагранжевы. Но — ш (Zi, ?)=dpi (5)=0 для любого вектора касающегося пересечения. Значит, поля Xi касаются пересечений (иначе вектор Xi можно было бы добавить, не нарушая изотропности, к касательному пространству к пересечению).
Теперь уже легко вычислить все попарные скобки Пуассона функций Qj1, . . ., <?„); мы убеждаемся в том, что в построенных координатах симплектическая структура имеет стандартный вид ш = dpi/\dqi, что и завершает доказательство теоремы.
Замечание. Попутно мы построили на каждом слое лагранжева расслоения локальную структуру аффинного пространства (заданную координатами (рх, . . ., рп)). Имевшийся в нашей конструкции произвол состоит в выборе функций (Q1,. . ., Qn) и в выборе лагранжева сечения (р=0). Легко проверить, что изменение того и другого приводит в слое к координатам р, отличающимся от построенных лишь аффинным преобразованием. Действительно, изменение координат Qi влечет линейное преобразование djQ. и, значит, полей Xi, а изменение""-лагранжева сечения — лишь сдвиг начала координат р.
18.5. Лагранжевы эквивалентности. Лагранжевой эквивалентностью двух лагранжевых расслоений называется диффеоморфизм пространств расслоений, переводящий слои первого расслоения в слои второго и симплектическую структуру первого в симплектическую структуру второго.
Пример 1. Рассмотрим стандартное лагранжево расслоение R2" -»• R", (р, q) q. Для любой функции S на базе расслоения отображение пространства расслоения в себя, заданное формулой (р, q) н-> (p-\-dS Idq, q), является лагранжевой эквивалентностью.
Пример 2. Для любого линейного оператора A: R" -»• Rn отображение пространства стандартного расслоения в себя, заданное формулой (р, q)*-+(A'~ip, Aq), является лагранжевой эквивалентностью.236
ОСОЁЕЙЙОСТЙ КАУСТИК Й ВОЛЙОВЫХ фронтов [ГЛ. 111
Пример 3. Рассмотрим кокасательное расслоение Т*В В, и пусть g: В В — любой диффеоморфизм. Тогда индуцированное отображение g*\ Т*В Т*В — лагранжева эквивалентность.
Пример 4. Для любой функции S: ВR отображение Т*В Т*В, заданное формулой S н-> ? -j- dS Ц, является лагранже-вой эквивалентностью расслоения л: Т*В-*-В в себя.
Теорема. Всякая лагранжева эквивалентность ростка ко-касателъного расслоения в себя разлагается в произведение эквива-лентностей примеров 3 и 4: 5 h^ g* \T.S* ь где g — росток
диффеоморфизма базы, a S — росток функции на базе.
Доказательство. По определению лагранжева эквивалентность индуцирует диффеоморфизм базы. Применяя эквивалентность примера 3, мы приходим к случаю, когда диффеоморфизм базы тождественный, и должны доказать, что в этом случае эквивалентность описывается примером 4.
Итак, мы должны описать все симплектические диффеоморфизмы вида (р, q) >-> (Р (р, q), q). Из симплектичности следует, что Pdq—р dq=dS. Следовательно, dSldp=0, dS/dq=P—р, т. е. Р — =p-\-dSIdq, что и требовалось доказать.
Рассмотрим действие лагранжевой эквивалентности 0, описанной в теореме, на росток лагранжева многообразия L, являющегося сечением кокасательного расслоения. Росток L задается производящей функцией F по формуле p=dF/dq.
Росток QL также является сечением; вычислим его производящую функцию. По доказанному эквивалентность 0 выражается через диффеоморфизм g базы и функцию S на'базе по формуле
Теорема. Производящая функция F ростка QL получается из производящей функции F ростка L диффеоморфизмом базы и прибавлением функции на базе:
F = Fog-i + S.
Доказ ательство. Форма р dq инвариантна относительно g*, поэтому за производящую функцию ростка g*L можно выбрать Fog'1. Преобразование же ? >->- ?+(251 Ц очевидно прибавляет S к производящей функции.