Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Sp = (S+f D ap)l(S+f П ар+1), A; ^ П1+) +
Указанные выше изоморфизмы определены естественными отображениями с^p-* Arp, Sp.
2°. Нормальная форма членов степени р. Зафиксируем числа 0.
Теорема Tr p. Пусть ег, . .., еи — квазиоднородные многочлены степени iV + p, С-порождающие Ар+1 при естественном отображении Аг+г. Тогда существует формальный диффео-
морфизм
Ух — хх + gi, • - •» Vn = + g„ IigTcdldxk Q Cip^r,
такой, что ряд / = /0 + Z1 + . •. после подстановки у принимает вид
f (Уі> ¦ • • > Ун) = /о 0е) + • ¦ • + U-1 (*) + ^et (X) ¦+ R, R 6 где Ci — числа. § 14]
спектральные последовательности
.135
Здесь, как обычно, / =Z0 4~/i + • • • означает разложение ряда / на квазиоднородные составляющие степеней N, iV —|— 1, ... .
3°. Нормальная форма r-зо приближения. Зафиксируем число г >0.
Теорема Tr. Пусть elt е2, ... — квазиоднородные многочлены всевозможных степеней N-J-р, где г, С-порождающие все пространства Arp+1 при естественных отображениях ^p —> Arp+1. Тогда существует формальный диффеоморфизм
У і = + • • Уп = хп + ?„> где ^gkOjdxk 6 2Р,
такой, что ряд / = Z0-J-Z1-]-... после подстановки у принимает вид
/(Уі> • •= • • •+ dege<>iV-f-r,
где Ci — числа.
4°. Условия В и С. Рассмотрим главную квазиоднородную часть /0 ряда Z = Z0+ А+ • • •
Определение. Ряд Z удовлетворяет условию В, если стационарная алгебра Ли точки Z0 при действии алгебры Ли квазиоднородных диффеоморфизмов на пространстве квазиоднородных многочленов степени N == deg Z0 тривиальна (равна 0).
Иными словами, / удовлетворяет условию В, если Sfl = 0. Таким образом, условие В накладывается лишь на Zo-
Теорема ВТ. Если / удовлетворяет условию В, то теорема Tr р справедлива при г = р^ 1.
Определение. Отрицательной алгеброй Ли типа я называется алгебра Ли векторных полей вида ^aldjdxs, где все мономы каждого многочлена а'„ имеют степень строго меньшую, чем степень монома xs (deg xs = as).
Заметим, что — конечномерная алгебра Ли.
Определение. Ряд Z = /о-J-/і~Ь • • • удовлетворяет условию С, если стационарная алгебра точки Zo [при действии отрицательной алгебры Ли на пространстве многочленов (квази)-степени не выше N = deg Z0I тривиальна (равна 0).
Заметим, чю условие С накладывается лишь на Zo-
Теорема СТ. Если f удовлетворяет условию С, то I+f =
= A-PiIr
Следствие. Пусть f удовлетворяет условию С, и пусть ви е2' ез> ¦ • • — квазиоднородные многочлены всевозможных степеней N + р, р ^ 0, определяющие базисы в пространствах Л™ спектральной последовательности при естественных отображениях Тогда образы многочленов ev е2, ... в локальной алгебре Qf-=AjIf С-линейно независимы.
Иными словами, касательное пространство деформации / + пересекает касательное пространство к орбите / в одной точке. J 90
КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. ii
14.3. Пример. Пусть /0 = Xі -J- ару2**1, 1. Эта функция квазиоднородна, с весами deg х = 2к -J- 1, deg у = 2, степени iV = — deg/0 = -J-4. Она удовлетворяет условиям В ж С.
Теорема W. Всякий формальный ряд / = /0 —f— Z1-J- . - -, где deg fp = N -J- р, формальным диффеоморфизмом приводится либо к нормальной форм&
Wkt і = /о + ax3yk+i + byik+2+i,
где а=а0+ ... + а^у™, Ъ=Ъй+ ... +^2fc"1, i> О, О (и где а = О при k= 1), либо к аналогичной нормальной форме с 6 = 0 (последнее — лишь в случае, когда кратность [а критической точки 0 бесконечна). Число модулей ряда f не меньше, чем число параметров в нормальной форме (т. е. чем 3k — 1).
Доказательство. Мы будем пользоваться отождествлениями фактор-пространств AJАр+1 и QIс пространствами квазиоднородных многочленов и векторных полей.
Пусть Sp — квазиоднородное поле степени р. Тогда, согласно п. 14.1, d0sp = spfo- Легко доказывается (например, с помощью кроссвордов из § 12)
Лемма 1. Однородный идеал 0fa содержит мономы ж4, хгу2к, x2y2k+1, xyik+1 и бином 2x3yk+1 -J- xysk+2. Пространства Ap (р > 0) первого приближения порождаются над С образами мономов хэу", где A + l<a<2A — 1, и y?, где ?>4&4- 2.
Согласно лемме 1 и теореме Te, можно привести / к виду F = fо + аэ?ук+г +6, где a = а0 -J- .. . + ак_2ук'2 и где Ь — ряд по степеням у, начинающийся с членов степени выше 4? -J- 2 по у. Обозначим через Ak -f- 2 -f- і показатель степени у в первом ненулевом члене b0f, f = yik+2+t, ряда Ь. Положим г = deg ср — N = 2i.
Лемма 2. Для приближений, построенных по ряду F,
d1= ... =d'~i = 0, dr [^] = Ь0 [Spcp]
(здесь и далее квадратные скобки означают классы смежности).
Доказательство. Заметим, что стационарная алгебра функции /о порождается над А полем v = xy2k (2k -f-1) djdx — (Ax2 -J--J- 2y2k+x) д/ду степени Ak. Поэтому 5, = 0 при p <C Ak. Значит, для любого поля s = sp -J- Sj,+1 -J- •.для которого 0 Ф sp ? [sp] ^ Srp, г ^ 1, имеем Но lSI4fc (a.aA/fc+1) С sSt0Zo- Действительно, все
элементы идеала в левой части делятся на ж2 и имеют степень не ниже IOA-J-4, а элементы Xі, x3y2k, х2у№+1 идеала в правой части имеют степени не ниже IOfc-J-4. Поэтому каждый моном каждого элемента идеала в левой части делится на один из трех указанных мономов, что и доказывает приведенное выше включение.
