Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
у1—х\±х|, і12- X1X2. (1)
Доказательство. Линейными заменами х и у приводим общее линейное семейство квадратичных форм на плоскости К виду
cI (•*! Іх2)~\~ cZxIxZ'
Многообразие 1-струй ростков коранга 2 имеет в случае четырехмерных пространств коразмерность 4. Поэтому многообразие струй ростков коранга 2, у которых квадратичная часть генотипа (т. е. квадратичный дифференциал ростка) задает необщее линейное семейство форм, имеет коразмерность больше 4. Следовательно, орбита такого ростка имеет коразмерность больше 4, и росток це может быть устойчивым (см. п. 7.2, стр. 108) *).
Лемма 2. Указанные в теореме два ростка RL-ycmou-чивы.
*) Более того, по теореме трансверсальности отображение общего положения между четырехмерными многообразиями не может иметь ростков, определяющих необщее семейство квадратичных форм. § lJj КЛАССИФИКАЦИЯ УСТОЙЧИВЫХ РОСТКОВ ПО ГЕНОТШІД.М і 25
Вычислим прежде всего R-алгебру Q генотипа (1). Вычисления удобно проводить при помощи диаграммы Ньютона (рие. 46). На этой диаграмме моном изображается точкой (рг, р2).
Рассмотрим идеал, порожденный компонентами генотипа. В этот идеал входят все мономы, делящиеся на X1Xi. Соответствующие точки на диаграмме образуют заштрихованный квадрант с вершиной (1, 1). Образующей xf±x% соответствует отрезок (2, 0)—(0, 2) на диаграмме. Концы этого отрезка и любого параллельного ему отрезка с вершинами в целых точках (P1 ^O, P2 ^= 0) соответствуют мономам, пропорциональным по модулю идеала. Перемещая отрезок по диаграмме так, чтобы один конец попадал в заштрихованный квадрант, мы убеждаемся, что идеалу принадлежат все мономы степени 3 и выше.
Окончательно, коразмерность идеала {х\ + Hr х\, X1Xi) = /в Ax равна 4; R-базис в Q образуют, например, классы четырех моно-
Рг*
Рис. 46.
мов: 1, X1, х2, x'f.
Теперь рассмотрим подмодуль M = .
в (Ax)2. Чтобы указать R-базис
в T = tPie,;J > достаточно указать
R-базис в Q2Kp Bfyjdxi), где р: (Ax)2 -> Q2 — естественная проекция. Искомый базис образуют, например, проекции столбиков > X1G2, -??"
Действительно, рассмотрим R-базис в Q2, образованный проекциями восьми столбиков mtej {mt = 1, X1, ж2, х}). Столбики 9ф/3х; — это {2хг, х2) и (±2х2, X1). Выражая m^j через функциональные комбинации [Bfyidxi) и числовые комбинации ех, е2, xxes, х2е2 (все над Q), мы находим без труда
_ 1 + T
хле
IcI -
2 '
'IeI-
2 V :?/
ал
Хпв
2 1 -
Xlfl 2 '
12 :
Ci)+
Независимость ел, е», T очевидна (например, она сле-
дует из того, что codim S2 (R4, R4) = 4).
Итак, указанные в теореме ростки являются надстройками над генотипами (1) и, следовательно, устойчивы.
Лемма 3. Росток в нуле всякого отображения плоскости на плоскость, имеющего квадратичную часть (1), V-эквивалентен ростку отображения (1) в нуле.
Доказательство. При доказательстве леммы 2 мы убедились, что все мономы третьей степени принадлежат идеалу, порожденному X1X2. Отсюда следует, что для всякого
9 в. И. Арнольд и др. 130
ОСНОВНЫЕ понятия
[ГЛ. I
ростка ф с квадратичной частью ср вида (1) существует разложение ф = (Е+А (х)) ф, где элементы матрицы А в нуле равны нулю.
Следовательно, ф и ср У-зквивалентны, что и требовалось.
Теорема вытекает из лемм 1, 2, 3 и общей теории (п. 9.5).
Замечание. Попутно мы доказали, что всякое отображение четырехмерных многообразий аппроксимируется отображениями, ростки которых в любой точке устойчивы.
Действительно, многообразие струй ростков коранга 2 отображений Mi -> Ni, генотип которых определяет необщее семейство квадратичных форм [или для которых начальные скорости вариаций генотипа не порождают (вместе с ех и е2) базиса в Т], имеет коразмерность, большую 4 (так как уже коразмерность E4 без дополнительных вырождений равна 4).
Пример. Рассмотрим росток отображения (R4, 0) -> (R4, 0):
уг = х\ -f X1X1 + Х2х2, ^3 = X1X2, Z1 = X1, Z2 = X2.
Особенность в нуле имеет символ Боардмана (2, 0), и 1-струйное расширение трансверсально страту Боардмана E2,0 в 0. Тем не менее этот росток неустойчив. Причина такого отличия от случая особенностей 21? в том, что в классе E2,0 встречаются орбиты положительной коразмерности в нем.
9.8. Простые генотипы с s^t. Росток /: (С*, 0) —>(С, 0) называется V-простым или простым генотипом, если его ft-струя при любом к имеет в малом пространстве струй J* 0 (Cs, С') окрестность, пересекающуюся лишь с конечным числом классов У-зквивалентности (ограниченным не зависящей от к постоянной). Иным словами, У-простые ростки — это генотипы, в нормальных формах которых устойчиво нет модулей. V-простые ростки cs^t исчерпываются, с точностью до V-эквивалентности и тривиальных расширений, следующими тремя списками (cod обозначает коразмерность класса У-эквивалентности в малом пространстве струй, [х — кратность в смысле § 5).
1°. Простые генотипы вида С* —> С1.
Обозначение Нормальная форма Ограничения cod V- (grad f)
яИ+і -j. Q fj. > 1 fl + S— 1 Ij-
x^y+y^ + Q fJ. > 4 t* + »-l IJ-
Et x' + v' + Q — 5 + s 6
