Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим какую-либо форму a: Qf -> R. Определим билинейную форму Ба на Qf по формуле Ба (g, А) = а (g-h).
Теорема (сигнатурная формула). Сигнатура билинейной формы Ба равна индексу особой точки 0 ростка /, если a (J) ]> 0.
Доказательство получается предельным переходом из изложенного ниже предложения о функциях на конечном множестве с инволюцией. І50
основные понятия
" [гл. i
Комплекснозначная функция на множестве с инволюцией т называется і-вещественной, если ср (та) = ср (а) (многочлен с вещественными коэффициентами т-веществен для инволюции комплексного сопряжения). Все г-вещественные функции на множестве ИЗ (X точек образуют R-алгебру R R-размерности р. Для всякой функции ср ? R определим билинейную форму Bf на R формулой Bf (h, g) =
=ScP (ai)S (а,)- Пусть ср не обращается в ноль ни в одной из точек а{.
Пред л о ж е н и е 1.1) Значения формы Bip вещественны. 2) Форма Б? невырождена. 3) Сигнатура формы Bip равна ср+—ср", где ср+ — число неподвижных при инволюции точек, на которых ср > 0, и ср~ — на которых ср 0.
Доказательство. Под действием инволюции множество распадается на инвариантные подмножества, состоящие из одной или двух точек. Поэтому предложение достаточно доказать для одноточечных и двухточечных множеств, для которых оно проверяется непосредственно.
Докажем сигнатурную формулу для специальной билинейной формы Б. Корень 0 системы /=O рассыпается при малых вещественных регулярных значениях е на ^ комплексных корней системы /=є. Пусть aJ,..., а — эти корни. Ha множестве этих корней действует инволюция комплексного сопряжения. Зафиксируем fj. вещественных многочленов elr . . . , е^, определяющих R-базис локальной алгебры R {х}/(/) и, следовательно, С-базис алгебры С {x}!(f). Обозначим пространства их R-линейных и С-линейных комбинаций через Lk и L. Рассмотрим билинейную форму Бе на пространстве Lk, определенную формулой
Лемма 1. Сигнатура формы Б® равна числу вещественных корней системы /=є, посчитанных с учетом знака якобиана.
Следствие. Сигнатура формы Be равна индексу нуля отображения / (см. предложение 1 п. 5.3).
Лемма 1 вытекает из предложения 1 и следующей леммы.
Лемма 2. Сужения функций из Z® на множество комплексных корней ((X1, . . . , UfJ и только они %-вещественны для инволюции г комплексного сопряжения.
Доказательство, г-вещественность сужений очевидна. Поэтому достаточно доказать, что отображение ^.-мерного пространства Lu в ".-мерное пространство т-вещественных функций не имеет ядра. Но при отображении сужения функций из L на множество (%, . . . , а ) в ноль переходит только ноль (п. 5.10). Лемма 2 доказана.
BsU, А) = 2
g(ctj) Il(cii) J(Ui) g 5] локальная кратность голоморфного отображения 81
Устремим є к нулю. Форма Бе будет стремиться при этом к вполне определенной форме Б, соответствующей линейной форме ао (•) — [•//! (предложения 1, 2 п. 5.11). Предельная форма Б невырождена, поскольку невырождена ее комплексификация (предложение 3 п. 5.11). Следовательно, ее сигнатура, как и сигнатура допредельной формы Бг, равна индексу ростка / в нуле. Тем самым сигнатурная формула доказана для специальной линейной формы а0 (отметим, что а0 (7) = fj. > 0). Пусть теперь а — произвольная линейная, положительная на якобиане форма на локальной R-ал-гебре. Соединим а с а0 отрезком в полупространстве положительных на якобиане линейных форм. Точкам отрезка соответствуют невырожденные билинейные формы (теорема 2 п. 5.11). Поэтому их сигнатуры одинаковы.
Замечание. В [18] с помощью сигнатурной формулы оценен индекс особой точки однородного векторного поля в R" через степень компонент поля. В [87] с помощью формулы для сигнатуры из предложения 1 оценен суммарный индекс особых точек полиномиального поля в области R", определенной полиномиальным неравенством P > 0, через степени компонент поля и полинома P (формула для сигнатуры применяется так же, как в лемме 2). Полученные оценки точные. Они обобщают известные в вещественной алгебраической геометрии неравенства Петровского—Олейник [73 ].
5.13. Теорема об обратном якобиане. Пусть U с С" — ограниченная область с краем и /: ?/ -> С" — голоморфное отображение. Допустим, что система /=0 имеет корни в области U и что образ края / (dU) не содержит точки 0. Пусть V — связная компонента точки 0 в CbNn/ (dU). Число корней системы / — г/=0 в области U, посчитанное с учетом кратности, для всех у из V одинаково (это вытекает из предложения 3 п. 5.4). Пусть /=det (dfldx), и пусть h — голоморфная функция в области U.
Теорема (об обратном якобиане). В области V существует (единственная) голоморфная функция ср такая, что для всякого регулярного значения у ?(y)~^>jh(ai)/J (ai)> где суммирование ведется по множеству всех корней Oj системы f — у~0 в области U.
Доказательство теоремы, основанное на многомерном варианте теоремы Абеля о следе, дано в п. 5.18. Сейчас мы воспользуемся этой теоремой.
Пусть отображение / имеет в шаре В единственный ноль, расположенный в центре шара а, и функция h голоморфна в В.
