Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
(!-'1H-1F-)-
-[(а + H-1) г - (а+Н 1 -2с)] у* (-^) -аЬу (Ь-г) = О,
(13.98)
(1 - г2) у' (z2) - [(2а + 26 + 1) 2 + Ll*] у* (Z2) _
- Ыу (z2) = 0. . (13.99)
Параметры a, 6 и с появляются в гипергеометрической функции совершенно аналогично параметру п в функциях Бесселя, Лежандра и других специальных функциях. По примеру этих функций можно ожидать, что указанные параметры войдут в рекуррентные соотношения, отличаясь на единицу. Гипергеометрические функции, в которых один параметр изменен на -И или —1, обычно называют смежными функциями. Обобщая это понятие на случай, когда на единицу изменяется более чем один параметр, найдем 26 функций, смежных по отношению к 2^1 (а, 6, с\ х). Если теперь одновременно брать по две из них, можно получить 325 громоздких уравнений, которым удовлетворяют смежные функции, например:
(а-Ь) {c(a-\-b — 1)-Ь 1 — а2 — ^2 + Ka—б)2 — 1] (1 -*)} х X 2Fi (dy Ь} с; х)=(с—а) (а —1 Jb2Fi (а— 1, 6-f 1, с; х)+ + (c-b)(a-b-IJa2F1 (а+ 1, 6-1, с; х). (13.100)
Уравнение Гегенбауэра (13.61) есть частный случай уравнения (13.90), поэтому функции Гегенбауэра (а также полиномы Лежандра и Чебышева) можно выразить через гипергеометрические функции. Для функции Гегенбауэра имеем
г"м=іЙг2М-п' "+2P+1- '+ft jT1)-
3.101) 13.5. вырожденные ГИПЕРГЕОМЕТРйЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 553
Для обычных и присоединенных полиномов Лежандра
Pn(x) = 2Fl(-n, я+1, 1; -^p-), (13.102)
Pm/г\- С* + "*)1 0-*2Г/2 rnW- (n-ni)\ 2тт\ х
X2^1 [m — ti, m-Vtl-1-1, т-1-1; рр) (13.103)
или
(13.104)
Pznn (X) = (-1)" M-XtFl ( -Я| я + 4, 4; ).
(13.105)
Полиномы Чебышева через гипергеометрические функции записываются так:
Тп(х) =2Fi(—ri, п, » (13.106)
Vn (X) = (п +1) JFi ( - я, п + 2, 4; -Ьі) , (13.107)
4'^Ti)' (13Л08>
В приведенных формулах перед гипергеометрической функцией появились некоторые множители, они определяются прямым сравнением степенных рядов, т. е. сравнением коэффициентов при определенных степенях переменной или оценкой значения ряда в точках х = 0 или 1 и т. д.
Упражнения
1. Если с—целое, а а и Ь—нецелые, показать, что
2Fi(a, b, с; х) и ^c2Fi (а+ 1-е, Ь+1—с, 2-е; х)
дают только одно решение гипергеометрического уравнения. Что произойдет, если и a будет целым, скажем a— — 1, а с=—2?
2. Найти рекуррентные соотношения для полиномов Лежандра и полиномов Чебышева первого и второго рода, которые соответствовали бы уравнению, (13.100) для смежных гинергеометрических функций.
3. Доказать, что
%F%(a, bx с; = (a, с-Ьг cJp^j- 554
>
ГЛАВА ІЗ. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
4. Проверить равенство 2/4 (—я» Ь, с; 1) = (с—Ь)п/(с)п. Указание. Здесь представляется возможность применить соотношение для смежных функций
[2a-—c-\-(b~a)x]F(a, b, с х) — =а (1 —д:) F (cz-f-1, Ь, с; х) — (с—а) F (а—1, Ь> с; *) и математическую индукцию.
13.5. ВЫРОЖДЕННЫЕ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Вырожденное гипергеометрическое уравнение *
ху" (JC) + (с - х)у' (Jt) -ay (X) = O (13.109)
может быть получено из гипергеометрического, если положить в нем, что две его особые точки слились, так что уравнение имеет регулярную особенность в точке X == 0 и нерегулярную в точке X = оо. Одно решение вырожденного гипергеометрического уравнения определяется функцией
у (х) = iFi (а,с;х)=М (а, с; х) =
^+Н + Шж+-- (W-HQ)
где сФ О, —1, — 2, или в символах Рохгаммера:
OO
M (а, с, X)= 2 <13ЛП>
п=0
Очевидно, функция M (а, с; дг) превратится в полином, если параметр а станет равным нулю или целому отрицательному числу. Через вырожденную гипергеометрическую функцию выражаются многие функции, например функция ошибок
X
erfM=-^r-*2) (13-112)
о
и неполная гамма-функция
X
у (а, х) = j е-Ча-1 dt = Q-iXaM (at а-[ 1; -*), Rea>'0. ° (13.113)
* Его часто называют уравнением Куммера, а его решения соответственно функциями Куммера. 13.5. ВЫРОЖДЕННЫЕ ГИПЕРГЕОМЕТРЙЧЕСКЙЕ ФУНКЦИИ 555
Второе решение уравнения (13.109)
у(х) = х^сМ(а-\-\-с,2-с\х), сф 2,3,4,... (13.114)
Стандартная форма второго решения уравнения (13.109) есть линейная комбинация функций (13.110) и (13.114)
JJi я Г AJ (а, с; х) х1_сМ (а+1 — с, 2—с; х)*1
Iflf с» X) —|_(а—с)! (с — fjl (а-1)! (l-c)l J '
(13.115)
Другая форма вырожденного гипергеометрического уравнения, которая встретится в дальнейшем, получается заменой независимой переменной х на х2:
У" (X2) + [-— - 2х] у' (X2) - 4ау (х2) = 0. (13.116)
Как и в случае гипергеометрических функций, существуют вырожденные функции, в которых параметры а и с отличаются на +1. Допуская одновременное изменение сразу двух параметров *, можно получить восемь различных вариантов. Разнообразные комбинации исходной функции и пары смежных дают в общей сложности 28 уравнений **.
Функции Бесселя вещественного и мнимого аргументов. Формула Куммера
M (а, с; *) = e*M(c — а, с\ ~~х) (13.117)
дает возможность получить новые представления функций Бесселя вещественного и мнимого аргументов. Эта формула проверяется обычным сравнением рядов (см. упр. 2).
