Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
Упражнения
1. В книге Джексона «Классическая электродинамика» функции Xlm заданы уравнением
Xlm (9, Ф)=.,1. ¦ LFf (0, ф),
в котором оператор момента количества движения L=—/(гXV). Показать, что это определение не противоречит уравнению (12.264).
2. Проверить, что четности функции VLM, Xlm и Wlm равны
соответственно (—(— 1)L и (-IJl^1. Почему на четность не влияет индекс М? Указание. Единичные векторы г0 и ф0—нечетные, а 0О—четный.
3. Доказать, что векторные сферические упкции VLM, Xlm и Wlm ортонормироваиы. ГЛАВА 13
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
13.1. ПОЛИНОМЫ ЭРМИТА
Производящая функция. Полиномы Эрмита Нп(х) можно определить с помощью производящей функции
OO
g(x,t) = e-W = 2 Un(X)^. (13.1)
Рекуррентные соотношения. Обратим внимание на отсутствие верхнего индекса в обозначении полиномов Эрмита, что отличает обозначение вновь введенных полиномов от обозначений функций Ханкеля, которые не имеют к ним никакого отношения. Исходя из производящей функции, можно установить, что полиномы Эрмита удовлетворяют рекуррентным соотношениям
Hnu W = 2хНп (X) - 2nHn,t (X)1 ¦ (13.2)
я;=2яяп-і(*). (13-3)
Формула (13.2) может быть получена дифференцированием производящей функции по t\ дифференцирование по X приводит к формуле (13.3). Прямое разложение производящей функции позволяет найти значения первых двух полиномов: H0 (х) — 1 и Hi (л-) = 2х. С помощью этих двух полиномов и формулы (13.2) легко получить любой требуемый полином Hn (дг), п — целое. Приведем явный вид нескольких первых полиномов Эрмита (графики первых трех полиномов изображены на рис- 13.1):
H0 (*) = 1, H1 (х) = 2х, H2 (X) = 4х* - 2, H3 (х) = Sxd~\2х, Hk (х) = 1 бх4- 48л:2 + 12, H5 (х) = 32х& - 160*3 -f 120*, Hq (Х) -64х6-480х4 + 720х2- 120.
(13.4) J3.I. ПОЛИНОМЫ ЭРМИТА
529
Производящая функция позволяет получить полиномы Эрмита для некоторых частных случаев
Я2л(0) = (-1)"(-^!, Я2„+1 (0)
0.
(13.5)
Кроме того, из ее свойств вытекает важное соотношение четности
Нп(х) = (-\)пНп(-х). (13.6)
Другие представления полиномов Эрмита. Продифференцируем производящую функцию * п раз по переменной t, а затем положим t равным нулю:
(13.7)
Эта форма записи полиномов Hn (х) известна как представление Родригеса. Второе представление можно получить, используя теорию вычетов (см. гл. 7). Если умножить формулу (13.7) на tm~l, а результат за- -2 тем проинтегрировать по замкнутому контуру вокруг начала Рис. 13.1. Полиномы Эрмита. координат, то в результате такого интегрирования сохранится только один член с Hm (х):
Нт W = ш § *~т~1е~'Ч2*хdi• (13-8)
Исходя из соотношения (13.1), полином Эрмита Нп(х) можно записать в форме ряда
W=W - (S=Sjra <2*)"-2+(^ipi (2*)"-41 •3+ •• •=
[п/2]
= 2 (-2)e(2*)«-2fC^'. 1-3-5 ... (2s—1) =
8=0
[п/2]
= S (-1)42*)"-* 7—
п\
s—O
(n-2s)\s\ '
(13.9)
* Перепишем производящую функцию так: g (X1 /)=е е
Заметим, что е at
-(t-x) 2_
dx
(t-X) 2
34 —1257 530
.ГЛАВА 13. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
При целом п ряд имеет ограниченное число членов, а его сумма равна полиному Эрмита.
Ортогональность. Из рекуррентных соотношений (13.2) и (13.3) получается дифференциальное уравнение второго порядка
Hun (je) - 2х Hn + 2пНп(х) = 0, (13.10)
которое, очевидно, не является самосопряженным. Для изучения свойств ортогональности полиномов Эрмита удобно ввести набор (ненормированных) функций срп:
Ф п(х)=^2Нп(х). (13.11)
Подставляя (13.11) в уравнение (13.10), получаем дифференциальное уравнение для функций фп (х)
ф;(х)4-(2л+1-х2)ф,і(*) = 0, (13.12)
которое описывает простой гармонический осциллятор в квантовой механике. Оно служит наиболее важным примером практического использования полиномов Эрмита. Уравнение (13.12) — самосопряженное, а его решения фп (х) ортогональны в интервале —оо < х < оо.
Нам осталось еще нормировать эти функции. Как и в разд. 12.3, возведем уравнение (13.1) в квадрат, а результат умножим на е~*2. В результате имеем
CtJ
e~,2e_82+2sxe_<2+2fx^ 2 ^Hn(X) Hn(X)8^r (13.13)
т, п=0
После интегрирования ПО Х ОТ — ОО до + оо перекрестные члены в двойной сумме обратятся в нуль в силу ортогональности *
СО OO CD
2 !SH j e-*2-S2+28*-*4-2txdx =
п— 0 —00 —00
OO OO
= j е-м-^^л1/^ = ^/2^ - (13Л4)
—00 П=0
* Если потребуется, можно сохранить и перекрестные члены
(т Ф л). Затем из равенства коэффициентов при sa ft доказываете ортогональность. с.
із. і. ііолйномьі эрмйта
S3 і
Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях St1 получим
OO
f V-xiIHn (JC)Pdx-- 2пя'/2л1. (13.15)
— OO
Как отмечалось, полиномы Эрмита используются в кван-товомеханическом анализе простого гармонического осцил-
лятора. Для потенциальной энергии V = Kz2l2 (сила F = — ~VV = — г) * уравнение Шредингера имеет вид
- ~ V«Y (г) + і (г) - EW (Z)1 (13.16)
где Е—полная энергия осциллирующей частицы с массой т. Введем обозначения
, тК Л 2Е/т\Ч'2 2E X^az101I = ^1 ЬТ[Т) = ^, (13.17)
в которых to^-угловая частота соответствующего классического осциллятора. Тогда с учетом того, что Y(z) = = Y (х/а) = (х), волновое уравнение перепишется в более компактной форме:
