Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
,. 4 0, тфп,
^ Tm(X)Tn(X) (i-xTl/2dx= j, ш = пф 0, (13.87)
я, т = п = 0; 0, тфп,
\vm (X) (X) (1-х2)-1/2dx =
-і
к -1
* т^л^О, (13.88)
я, т = п = 0; і
, j Um (х) Un (X) (1 - x*f2 dx = ^ 6W| д. (13.89)
Величину я/2 можно получить прямо из производящей функции (по аналогии с разд. 12.3). Отметим изменение величины интеграла для случая т = п = 0.
Упражнения
1. Воспользовавшись зависимостью
Tn(x) + lVn(x) = [x + t (I-*2)1'2]* и обозначив X=Cos 0, убедиться, что Tn (Jt) — cos W0=cos (п arccos х), Vn (х)=sin п0=sin (п arccos х),
Unix) =
sin [(rt 4-1) 6]_ sin [(п-И) arccos х]
sin 0
sin (arccos х) 13.3. полиномы чеВышева
549
Первый результат показывает, что разложение четной функции в ряд по полиномам Tn (х) эквивалентно представлению Фурье через косинусы (см, разд. 14.1).
2. Получить формулы
Тт+п {х) + Тт„п(х)=2Тт(х)Тп(х)
из «соответствующих» тождеств для косинуса.
3. Имея в виду, что Jc=cosO, a T1n(CosB)=Cosne, разложить
функцию хп = I-!jj-J и показать, что
X*:
-L- [Th (X) + qrft_2 (X) + фЧ_4 (X) +... I;
ряд в квадратных скобках обрывается на C^Ti (х) для k=2tn-\~ 1 или
C™7V2 для Zt=2т.
4. Дано
(1 - ЛГ») ?/; (X) - 3x(/n (X) + я (п 4- 2) (/n (X)=0.
Показать, что функция Vfl (х) подчиняется уравнению Чебышева (1 - х2> v; (X) - xv; (X) + Л2ул (X)-O.
5. Показать, что определитель Вронского для полиномов Tn (х) и Vn (х) имеет вид
Tn (X) V'n (X)-Tn (X) Vn (*) = -»/( 1 -хУ/2.
Этим подтверждается, что Tn и Vn (п ф 0) — независимые решения уравнения (13.79).
6. Производящую функцию Чебышева можно записать иначе:
оо
n= О
Как полиномы Wn (х) связаны с Tn (х) и Un (х)?
7. Доказать, что Vn (х) удовлетворяет рекуррентному соотношению (13.69) для Tn (х).
8. Проверить, что представленные рядами (13.83) и (13.84) функции Tn (х) и Un (х) являются решениями соответствующих уравнений.
9. Несколько уравнений связывают между собой два типа полиномов Чебышева. Рассмотреть и доказать справедливость двух уравнений
)
Tn (X)-=Un (X)-XUn.і (х), (1 -х2) Un (X) = 2Гп+, (х)-Гп+2 (х). 550
.ГЛАВА 13. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
10. Показать, что
COSXff = J0 М + 2 2 (-l)nhn(x)T2n(y),
Tl= 1
sinху=2 2 (-\)nJ2nH(x)T2n+i(y),
со
OO
e^=/oW + 2 S (X) Tn (у).
Здесь Jn (х) —обычная функция Бесселя, а (х) —функция Бесселя мнимого аргумента.
И. Проверить интегральные представления
В обоих случаях контуры интегрирования охватывают начало координат в положительном направлении, причем нули функции 1—2zt-\-№ лежат вне контуров.
12. Кривые, представленные на рис. 13.6, а, показывают, что I Tn (х) j < 1 на отрезке — 1 < х < 1. Доказать это.
13. Используя тригонометрические формы Vn и Tn либо формулу Родригеса, доказать, что
В гл. 8 мы ввели гипергеометрическое уравнение * x(\-x)y"(x) + [c-(a + b + l)x\y' (x)-aby(x)=Q (13.90)
как каноническую форму линейного дифференциального уравнения второго порядка с регулярными особенностями на бесконечности и в точках х = 0, 1. Одно из решений этого уравнения имеет вид
Tn(X)
1/1-Х2 '
13.4. ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
= 14
у (X) =Z2Fi (а, Vc;*) =
аЬ_ X fl(g+l)b(b + l) х2
с ' 1! + с(с+ 1) ' 2!
(13-91)
* Иногда это уравнение называют дифференциальным уравнением Гаусса, а его решения функциями Гаусса. 13.5. вырожденные гипергеометрйческие функции 551
где сФ 0,-1, —2, —3, .... Его называют гипергеометрической функцией или гипергеометрическим рядом. В часто используемых обозначениях Рохгаммера
M=I. (а)п = а(а-\-\)(а-\-2) ... (а+л-1) (13.92) гипергеометрическая функция записывается так:
OO
,Fi (а, Ь, с- (13.93)
71= О
Смысл индексов вполне очевиден: индексы 1 и 2 указывают на то, что в числителе символов Рохгаммера два, а в знаменателе — один. Вырожденная гипер геометрическая функция iFi рассматривается в разд. 13.5.
Из представления (13.91) видно, что параметр с не может быть нулем или целым отрицательным числом. С другой стороны, если а или b равны нулю или целому отрицательному числу, гипергеометрический ряд обрывается и становится простым полиномом.
Многие элементарные функции могут быть выражены через гипер геометрическую *. Мы находим ^
jt\n(\+x) = x2Fl{l,U2; -X). (13.94) „ Для полных эллиптических интегралов К и E
я/2
K = J (l-ft2sin«e)-,/aJe = -^sF1 (І-, і,
О
(13.95)
я/2
E = J (1-А»зіп«Є),/2dB = ^2F1 (±, -1,1;^).
О
(13.96)
Гипергеометрическое уравнение как линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет второе независимое решение. Его обычная форма
у (X) = Xi-cZFі (a jT 1 — с, Ь+\ — Су 2-е; *),
сф 2, 3, 4, ... (13.97)
* Три параметра а, Ь и с позволяют получить представление почти любой функции. 552
.глава 13. специальные функции
Читатель может проверить, что если с — целое, то либо оба решения совпадают, либо одно из решений расходится. В таком случае нужно ожидать, что второе решение содержит логарифмический член.
Гипергеометрическое уравнение имеет и другие формы:
