О некоторых вопросах теории моментов - Ахиезер Н.
Скачать (прямая ссылка):
Л 1 P 1 .
0 лГ'
Vs0
где S0 — произвольно выбранное положительное число, и определим из реккурентных формул (3) последующие полиномы
Aw (і-1, 2.....Я-1).
Пусть теперь
0(t)=n^iPiit)
о о
два произвольных полинома степеней <я—1. Определим „скалярное произведение" (G, Я) этих полиномов равенством
л—1
(G, Я) - ^i-nt. о
Очевидно, что
1. (G, Я) = (Я, О)
2. (G1 + G2, Я) = (G1, Н) + (G2, Н) .
3. (aG, Я) = <х(0, Я)
4. (G, G) > 0, если G (О ^O.
Так как матрица симметрична, то из (3) вытекает, что
{tPi, Pu) = (А, = Ciik (i, k = 0, 1,.. .,п-2),
а следовательно,
(ZtG, Я) = (G,
и вообще
(FG, Я) = (G, W),
если степени произведений FG и FH не выше я—1. Положим теперь
4) Sghh = Os,^) (g, A=O, 1, ...,я-1).
210. Этим мы определили некоторую последовательностьS0, S1,...Ssa-2. Введем соответствующий ей функционал <В. Так как
(5) (tg, th) = ®[t8hh},
то и вообще для любых двух полиномов G и H степеней не выше п— 1 имеет место равенство
&{GH} = (G, Я);
в частности,
Так как, кроме того, в силу свойства 4° произведения (G, Н), форма
л—1 I / я—1 \2\ /л—1 л—1 \
Sft+AS* = ©{(25^) f= (22^)
положительна, то последовательность s0, S1,..., Stn-I позитивна. Определим теперь s2„_i так, чтобы
(7) @ {t PnJ1 (t)} = Cin-I л—1 = «л-1. Тогда в силу (3) и (6) мы будем иметь
А Л
6 {tPu Pk) =Clik при всех i, k = 0,1,... п— 1.
Таким образом, действительно, матрица || ||о-1 порождается некоторой позитивной последовательностью s0, S1,... San-I. Эта последовательность определяется однозначно при заданном S0 > О, ибо, если она порождает матрицу |[ a,* H^1i то справедливо соотношение (7), а также (5) и, следовательно, (4). Утверждение наше доказано1.
Заметим еще, что если определить несингулярное преобразование
(8) iji = 2«i& (г = 0, 1,..., п— 1)
fc=0
равенством
п-і л—1 Л
о о
1 Читатель, внимательно следивший за нашими рассуждениями, вероятно, заметил, что мы показали несколько больше, а именно: при заданном s0> О т первых величии в ряду
&0> К al> ^li •• •
определяют т первых величин в ряду
S1, S2,.. .
и наоборот.
212. то
Действительно,
Я—І л
і, fc=0 і, ft=
?i/WIft
= ® и ПфІІ')}=® It (?7^ ^)2 } =
n— 1
= S
i, fc=o § 2
Как мы уже знаем, всякая бесконечная последовательность вещественных чисел
(9)
S0 > 0, а0, fco, аъ blt.
(bt > 0, і = 0, 1,2,...)
порождает некоторую позитивную в интервале (—оо, оо) последовательность. Покажем, что:
В том и только в том случае существует конечный интервал, в котором последовательность чисел S01S1,... позитивна, когда выполняются два условия: I0 последовательность позитивна в интервале (—00,00), т. е. все Dk > 0 [k = 0, 1, 2,...), и 2° соответствующая последовательность а0, Ь0, аъ ограничена.
Действительно, необходимость первого условия очевидна. При выполнении этого условия можно построить ортонорми-
рованную последовательность P0(t), P1 [t),..
Jl— 1
(!)
Так как
о
л—I
(H)
2 (Хвй±аа) чщ = © [ (X ±0 ( ? чА (t) JI 2 (Xsi+* ± Si-нш) SiU = ©{(X + ^fs },
то формы (I) переходят в формы (II) путем несингулярного преобразования (8). Согласно ранее доказанной теореме1 после-; довательность S0, S1,... позитивна в интервале (—R, R) тогда: и только тогда, когда при любом п формы
л—і
ZiRs i+.k±Si fft+l) ^iik
О
или, следовательно, формы
л—1
VJ {R&ik±aik)TJ1-IQft о
1 Статья I, стр. 35, 36.
212. положительны. Но если последние формы положительны, то R±aH = R± а?>0 (г = 0, 1,...)
R ± at ± bt ±bt R± щ+і
R ± Clii ± CliiJcI
± CiiJrU R ± си ЦІ ' і
Из этих неравенств следует, что
|af| <R, \bi\<2R
>0 (1 = 0,1,2,...).
(і = 0, 1,2,...),
Пусть теперь, обратно, последовательность (9) ограничена. Выберем /?> sap I Af 1 + 2 sup | bt\\ при таком R
л-1
I
о
л—1
Л—2
S ± W = S (Я ± t± 2 2 0i7J'7!"'+1 >
л+1
ибо
2Oi7)i7),-J_i < I fcf I (7Ii + rfi+l)
ілу ране извести
Теорема 1 (Toeplitz [41Ь])
(і= 0, 1,...).
Утверждение доказано. В силу ранее полученных результатов оно эквивалентно следующей известной теореме.
Для того, чтобы последовательность вещественных чисел S01S11S2,... допускала представление
(10)
Sk = Jfdait)
(A = 0, 1,2,...),
где неубывающая функция о(^(— оо<*<оо) удовлетворяет двум условиям: 1° число точек роста функции бесконечно, 2° все точки роста этой функции сосредоточены на конечном отрезке, необходимо и достаточно, чтобы все детерминанты
Dk =
Sk
Sk . . -S2k
были положительны, а числа
(k = 0, 1,2,...)
Dh
D,
CLk =
k-1
Db
Dh
bk=y ik = 0, 1,2,...) Jk ljU-X uk
были ограничены в своей совокупности.
В последующих параграфах мы найдем критерий того, чтобы все точки сгущения множества точек роста функции o(zf) в пред-
213. ставлений (10) содержались в наперед данном конечном множестве.
§ з
1. Пусть S0jS1jS2,... бесконечная последовательность вещественных чисел, удовлетворяющая условиям теоремы 1. Следовательно, найдутся такие R > 0 и неубывающая функция a (t) (— R < t R), имеющая бесчисленное множество точек роста, что:
