О некоторых вопросах теории моментов - Ахиезер Н.
Скачать (прямая ссылка):
M
h
<
на всей оси —coctCoo, причем C0, очевидно, равно нулю. Полученное соотношение можно заменить на
Ck
h (t, а, X, е) ? [(<_ a)t +Bi] а)г + щ
где все Bi различны и достаточно мало отличаются от 1, но это и есть требуемое неравенство.
Докажем далее, что
оо оо
Iim J h(u; а, X, e)d<fn(u) = f h(и; a, I, e)dy(u).
Действительно
OO OO-
Jh (и; «, X, s) (и) - / А (и; а, X, е)а^(и)|<
—СО —00 I
OO OO OO
<0 j Jdifn(U) + Jdff(U) + J wm (и) dvn (и)—J Wm (и) dw (и)
1 —OO —OO —OO —OO
Второй член правой части при п—>со стремится к нулю в силу (2), а первый стремится к 25/(0), что может быть сделано сколь угодно малым. Теперь уже нетрудно закончить доказательство. Пусть V — какая-нибудь точка непрерывности функции if(u). Возьмем две функции
где О < е <
111 2 "
Мы знаем, что
(3)
lim J A1 [t) d<fn (t) = Jh1 (t) df (t)
00 —00 —CO
CO OO
Iim Jh2(t)d<fn(t) = Jh2(t)df(f). С другой стороны, при V >0
со
Jh1(I) d?a (t) < ?„ (v - 0) - <рп (+ 0) < <р„ (V) <
— OO
OO
< <Pn(o + 0) - <? „ (- 0) < J A2 (t) dtn (t),
(4)
OO
/ Aa (Zt) (^) < q» + є) — ер (— є), <р (t> — є) —- ір (є) <
— OO
OO
<fA1(t)df(t).'
— OO
Поэтому в силу (3) для любого є>0: v
« (V — е) — <р (б) < Iim <pn (D) < Iim <РП (V) < <р (1) + s) — tp ( — є), а так как
lim <f (s) = lim <f (— e) — to (O) = О,
s—>¦?> г—»-0
lim ф (v — e) = lim (p (v 4- e) = <p (v),
O e O
TO
f (V) = lim<pn(D).
Tl—x>o
При *><0 доказательство аналогично, вся разница будет лишь в том, что неравенства (4) заменяются на
OO
J A1 (*)Gftfn(0 «?„(-0) - <P„ + 0) < - <рп (D) < .
— OO
OO •
<?„(+0)-?П(«-ОК/ MfjdMQ,
— OO
OO OO
J h, (9« ?(+е)-?(*-»),? (-*)-*(«+ в)« / ^(Qdf(I).
207. СТАТЬЯ VI
\
М. КРЕЙН
ОБ ОДНОМ СПЕЦИАЛЬНОМ КЛАССЕ ЦЕЛЫХ И МЕРОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ
Настоящая статья посвящена начатому еще Stieltjes'oM [39 а] и затем продолженному Огошшег'ом [27] изучению методами теории моментов одного класса целых и мероморфных функций.
После Stieltjes'a и Grommer'a отдельные авторы исследовали этот класс функций и другими методами; в частности, с помощью соображений алгебраического характера интересные дополнения к исследованиям Grommer'a были получены Н. Г. Чеботаревым [17].
М. Fujiwara [2о&] пытался перенести некоторые алгебраические приемы, восходящие еще к Hermite'y, в теорию этого класса функций. Но он не получил достаточно общих результатов и, более того, пришел к ошибочным выводамх.
Как нам кажется, наиболее естественными и прямыми методами в этом круге вопросов являются все же трансцендентные методы проблемы моментов и вообще теории ограниченных функций комплексного переменного. Во,всяком случае, как мы показываем, этим путем удается довести решение целого ряда вопросов до их логического конца.
§ 1
1. Пуоаъ последовательность sk (fe=0, 1,.. .2ге— 1) позитивна2 в интервале (— оо, оо), а следовательно, квадратичная форма
і, A-0 Iv 0 / I
положительна3. Введем в рассмотрение ортонормированные полиномы
(Dk = I s,+y|* k = =0, 1,..., re—I, D_i = l),
1 См. § 6. В этом параграфе мы также исправляем одну ошибку Grommer'a.
2 Относительно позитивных последовательностей см. главу 1 статьи I. Здесь, в частности, мы используем теоремы Ia- 2а, 7 гл. 2 статьи I; их доказательство можно также найти в статье II, стр. 130 и 136.
3 Мы сокращенно говорим положительна, вместо положительно опреде-
ленная.
Pk{t)
VDkOk-I
S0 Si ---Sk
Sk—l Sk—2- ¦ -S2k~l 1 t... tk
,208 т. е. полиномы последовательно растущих степеней, определяемые из соотношений
(1)
Пусть
(2)
Л "-1 Л
tPi = ? CiikPk
Ji=O
{i, k = 0, 1,...,я—1).
(і = О, 1,...,я —2);
помножая это равенство на Pr- и применяя к обеим частям функционал <В, мы в силу соотношений (1) получим, что
aik=<B{tPtPk}.
Здесь k принимает значения 0, 1,...,я—1, а і — значения О, 1,..., я— 2; однако, мы определим величины aik этой формулой для всех значений i, k = 0, 1,..., я—1.
Очевидно, что aik=akl (i, k = 0, 1,...,я — 1). С другой стороны, из (2) следует, что Cilk = Q при k>i+1; откуда вообще
а,a= 0 при Iг — &|>1.
Таким образом, матрица |\aik||"-1 является симметрической матрицей Jakobl.
Легко также убедиться в том, что
Clk = Clkk =
Db
D
к-1
Db
А
к—і
(k = О, 1,...,я-1)
bk = CikkJrI = уГОк-1°к+1 (k=*0, 1,.. .,я —2),
где
?>_1 =0, D0 = S1, Dk =
S0 S1 . • -Sk—l 'sVfl
S1 S2 . ••Sk Sk^ 2 (k = 0, 1, 2,...).
Ч Sk (-!• -Slik-1 S2A+1
Для этого следует приравнять коэфициенты при двух старших членах в соотношении
(3) tPiit) = bi—iPi—i + UiPi + btPi+1 (г = 0,1,..., я — 2),
имея при этом в виду, что
¦/т'тт^-'"+»: (-о,!,...,«-2).
Pdt)
Ахиевер и Крейн—65—1
209 Покажем теперь, что и обратно, всякая симметрическая ма трица Jakobi || ||"~\ у которой
at = а.і^О (і = 0, 1,.. .,п — 1), bt = aii;1 > О (/= 0, 1,..., я — 2)
порождается некоторой позитивной последовательностью Sk (k = = О, 1,..., 2я—1) и эта последовательность определяется однозначно, если произвольно задать положительное S0. Положим для этого
