О некоторых вопросах теории моментов - Ахиезер Н.
Скачать (прямая ссылка):
\\х\\~ j\x(t)\dt.
эг
Мы будем считать известным 2, что всякий линейный функционал /С Ещ имеет следующее аналитическое выражение:
(25) f(x) = fx(t)*(t)dt,
ш
где а (?) некоторая измеримая на 9)1 в существенном ограниченная функция; при этом норма функционала / вычисляется по формуле: 4
(25х) ІІ/Ц = yraimax I a (f)j.
t с яг
1 Таким образом, мы не будем различать двух функций х (f) С и у (t) С если они совпадают почти всюду на 2ft, ибо в этом случае
Il X-^II = O. Должно быть ясно также, что мы будем иметь в виду, говоря о линейно независимых функциях хi(t) (і = 1, 2,..., я).
! См. стр. 65 книги Banach'а; там приведен вывод формулы (25) для случая 2Д=<в, Ь >, но рассуждения легко обобщаются на общий случай.
187.В силу (25^ и (25j) условие экстремальности функции x(t) с Ещ по отношению к функционалу / запишется в виде равенства
fx (t) a (t) dt = + / H*) I dt • vraimax | a (t) |.
эг шг «сад
Но, как легко видеть, это равенство имеет место в том и только в том случае, если
(26) a (t) = evrai max | а (^)1 sign х (t) почти всюду на 9?.,
t свд
где 3fx обозначает множество тех точек t С SOl, для которых
X it) ф 0, а є = ± 1.
Следовательно,,, функция х (t) нормальна (как элемент Em) тогда и только тогда, когда 501-? множество меры нуль, ибо в этом и только в этом случае функция a (t) определяется из (26) с точностью до произвольного скалярного множителя, и именно, по формуле:
a (t) = С sign' X (f) (почти всюду на 3R).
В пространстве Em задачи А и В будут зйучать следующим образом:
A. Задано п функций X1 (t) С Еш(і = 1, 2,..., п). Найти необходимые и достаточные условия для чисел
л
Cu Сг,..., сп, L > О, L> 0), чтобы существовала і \ измеримая функция а(?), для которой:
/Xt(f)а(t)dt = Ct (і = 1, 2,..., п), sup |<x(?)|«gZ..
эг
B. Заданоллинейнонезависимыхфункций xi{t) С E$i
л
и я чисел Cu Ci,..., cn(?jcj>0). Найти минимум
і
-J- = min f \ IiX1 (?)+... +SnXn (*) I dt.
л ™
Sc , ®
ClIf= 1 ч
1
Разбирая эти задачи, покажем прежде всего, что:
п п
Iа. Если у = ixt{t) и Z=Yl^tjct(t) суть два мини-1 і -мизирующих элемента задачи В, то равенство 188(27)
sign^Sа,*, (t)^ = sign (t)
выполняется почти всюду на пересечении множеств 9? и
В самом деле, пусть а0(?) — некоторое решение проблемы А при L = ^(C1, сг,..., сп). Тогда, согласно предложению 7° § 1, функции y(f) и z(t) суть экстремальные функции функционала f0, соответствующего функции a (t) и, следовательно, в силу (26) и ТОГО, что /оСу) =Zo(Z) = 1
а(?) = Xsign|^afXf(?) j (почти всюду на %)
а (f) = X signj^ ^ biXi (t) J (почти всюду на 9їг).
А отсюда уже вытекает (27).
Назовем п функций Xi (f) ( Em (і = 1, 2,..., п) вполне не-
п
зависимыми, если любая их линейная комбинация ^SfX;(?)
і
(|s*>o)
дает нормальную функцию, т. е. не обращается в нуль
ни на каком множестве меры > 0.
После всего сказанного нетрудно заключить из предложений 6°, 7°, 8° § 1, что имеет место
Теорема 1
Пусть Xf(t) (i = 1,2,..., п) вполне независимы. Если
л л
У (t) Sa'*' № а' ~ ^ есть минимизирующий эле-1 1
мент задачи В, то всякая иная функция z(t) = = ^ibixt(f) 6 уде т также минимизирующим
элементом з'адач.и В тогда и только тогда, когда
siSn S (t) j = sign 5JafXf(?)j (почти всюду на 9ft). Теорема 2
Пусть функции xt(t) (і = 1, 2, ..., п) вполне независимы.
189.Для того, чтобы система (28) f xt(t)o.(t)dt = cx (і = 1, 2,..., и), sup|e(Q|<?.
Зй
имела континуум существенно различных решений. a(t), необходимо и достаточно, чтобы
(29) -i-<JL= min J\Zlx1(t)+...+Znxn(t)dt.
п ш
Scfii=1 1
Для того, чтобы система (28) имела в существенном одной только одно решение, необходимо и до~ статочно, чтобы Z- = K.
При выполнении этого условия решение a(t)< определяется по формуле
a (t) яв L sign
^aiXi (t)
і
n
, (почти всюду на SR), •
где агрегат ^ atxt (0 (2 0iCi = есть какой-либо ми-
Ii-
нимизирующий элемент задачи В, т. е. элемент, для которого достигается минимум в (29,).
Поясним роль и смысл теорем 1, 2 на некоторых частных-примерах.
Поставим, например, вопрос об определении
(30) min +
? Ii
при дополнительном условии
(3?) i; CiSi-i.
о
В этой частной задаче В:
SK = <- 1, 1 >, Xi(t) = tl (і = 0, 1,..., п) К
Так как степени t' вполне независимы, то здесь] применима теорема 1. Пусть
п
P(t) = A0 + Axt+...+Anf QciAt= 1>
1 А следовательно, п заменено на п + 1.
190.какой-либо полином, на котором достигается минимум (30). Пусть Ot1 < Ot2 <.. • <ар(р <п) те точки, в которых он меняет знак. Положим
р
Q (*) = сП (*- «О = Д> + Btt+ ... +Bpf
і
и подбёрем константу С так, чтобы
sign P (t) = sign Q(t)
и чтобы
о
По теореме 1 полином Q (t) будет одним из искомых минимизирующих полиномов. Таким образом, минимум (30) всегда достигается для некоторого полинома с простыми вещественными корнями, лежащими внутри интервала (—1,1).
Кроме того, согласно теореме 1, минимум в (30) достигается тогда и только тогда, когда