О некоторых вопросах теории моментов - Ахиезер Н.
Скачать (прямая ссылка):
— OO < t <оо
Доказательство
* \
Регулярность функции Ф(г) сіеДует из ограниченности функции f(t).
Неравенство Ь) получается из того, что
|уФ(гу)|< Jye-ayIf(U)IdU.
Остается доказать, что при О имеет место неравенство ШФ(2)>0.
Возьмем равенство
j- = j eime~tTvdv (z = x+iy).
у о
Имеем далее
OO OO I
ф (Z) + ф~(ї) = / е'2и f (и) du+ fe~i 2af(— и) da.
о о
201. Поэтому
OO OO
Ф <л+т fe^'^i-^f (u)dudv+
2Iy
о о
оо оо
0 0 О ?
00 оо оо оо . *
+/da/dp=/ ff(a-$) e-v^d* . 0.
Oa a O
Теорема 2
Если f(t) есть функция класса то почти всюду имеет место равенство
оа
/(*)- Je^df(U),
-OO
где <р(а) неубывающая ограниченная функция. Доказательство
На основании теоремы 1 и замечания к теореме 10 главы 2 (статья I)
OO OO
f eiv*f(v)dv = і f (&=У> 0),
О — OO
где ф (и) — некоторая ограниченная и неубывающая функция. С другой стороны,
оо
/
--fe1(,+u)vdv
и J о
и, следовательно,
OO OO cS oo oo
Je^f^dv = Jdv (и) J ец'ыVdv = Jeizv dv Jeiav d<?(u).
О —оо О О —оо
Значит, две абсолютно интегрируемые функции
OO
e~*yf(v), e-ty Jeim,dy(u)
— оо ,
имеют одинаковое преобразование Fourier; поэтому они почти всюду равны между собою, что и доказывает наше утверждение. .
,202 Теорема З
Всякая функция класса эквивалентна н е к о -торойфункции классаи всякая функция класса ^4 принадлежит классу
Доказательство
Если f(t) принадлежит классу то f(t) эквивалентна
функции
OO
f*(t) = Jeiat du (и),
¦т
а так как
т _ гі т
2 f*{t«-h)p. Pe= J I Y>eiut«v*
оо [ т
d<q (и) > О,
я, P=I —"оо I я =1
то первая часть доказана.
Пусть теперь f(t) есть функция класса Тогда
I' jeix (я-р) е-у с«+э> / (а — р) rfa rf? = O о
А А
= Hm Jfёхerr<«+Р>/(а — ?)da=
Л->оо OO
41 Ж Л N ' '^Л-У—Л
Ai чгч х/ л— UL m о т
= lim Iim
А->оо т-^-оо т
, IJ=I 4 7
и вторая часть также доказана.
Сопоставляя теоремы 2 и 3, мы получаем упомянутое выше предложение S. Bochner'a.
Заметим также, что в силу приведенных рассуждений теорема 1 допускает обращение, а именно, имеет место
Теорема 4
Всякая функция Ф(г), удовлетворяющая условиям а), Ь) теоремы 1, представима в виде
OO
ф (z)= J еЫг /(и) du,
о
где f(u) — некоторая] функция класса а значит и класса ^Sc.
3. Перейдем теперь к функциям класса .
Теорема 5
Всякая функция класса эквивалентна некоторой функции класса и обратно.
203. Доказательство
В силу теоремы 3 нам достаточно доказать только первую часть утверждения. '
Проведем это доказательство, воспользовавшись идеей F. Riesz'a [36с]. Дано, что
т
S f(ta - е-71 > О
э=1
для любого натурального т, любых неотрицательных ^1, t2,... tm, любого Tj > 0 и любого вещественного S. «>
Проинтегрировавши это неравенство по каждой из переменных I1, t%,..., tm от 0 до А > 0, мы получим, что
г г г т
0<fJ...f ? /(*• - h) ^<''+'?> dt, dt,.. Mn =
• О О «, P=I
А А
— тп (т — 1) Am-2 J J f(u - v) е* (u~v) е-71 (и+г° du dv+
1 о 'о
А
+ mf (0) Am-1 J е~27'" du.
о
Разделяя на т(т—1 )Ат~* и неограниченно увеличивая т, мы получим, что при любом Л>0:
А А
JJf(U-V) е* {a-v)e~T>(u f^ da dv > 0,
о 0
а это значит, что каково бы ни было ч\ > 0 и вещественное S:
OO OO
JJf(U-V) е* '""V4(в+г,) du dv> 0. о о
4. Рассмотрим последовательность функций
/.(*), Ш,..., Mt),...
класса которая сходится к некоторой функции f(t). Ясно, что f(t) входит в класс а следовательно, почти всюду имеет место равенство
OO
f(t)~ Jeiut dt (и);
—OO
с другой стороны, всюду имеют место равенства
OO
'!i fn(t) = Jeiatd<fn(u) ; [п. = 1, 2, 3,...),
-OO
где if (и), <f„(u) — неубывающие ограниченные функции. 204 Не нарушая общности, мы можем принять, что и —0 есть точка непрерывности для функции <р(я) (иначе мы могли бы положить (1> (и) = <р (и — а), ф„ (и) = fn (и а), где а — некоторая точка непрерывности функции <р(и)). Кроме того, примем, что
<р(0) = 0, <р„(0) = 0.
Теорема 6 (Bochner [21а])
В каждой точке непрерывности функции f(и)
имеет место равенство
г #
Iim <рп(и) =<f(u).
п-> oo
Доказательство
Рассмотрим функции
OO OO
. Ф (z)-J>f{u)dm-if?®t
О — OO
OO OO
Фn(z) - Jeia*fn(u)du = i/?? (« = 1, 2,...).
О — оо
Так 'как
l/n(*)l<l/n(0)M/(0)|,
то из сходимости последовательности
fi(t), ш,...
следует в силу теоремы Lebesgue'a, что (2) Hm Фп (г) = Ф (г)
для всякого невещественного Z.
Обозначим через h(t\ а, X, е) представленную на чертеже функцию, которая равна нулю при а — X — г и при t><* 4-4-X+ 8, равна единице при а — Х<?< а 4-Х и которая линейна в интервалах а— X — г Kt < а — Х;а + Х < t < я + X + « (є > О, X > 0). Покажем, что для любого 8 > О существует такой агрегат
/я
Jy+Bk CA > о>.
Ь—1
205. который для всех t (—оо<?<оо) удовлетворяет неравенству
\h(t; а, X, є) — wm(t)\<%. h(t\ а, X, е) есть, очевидно, непрерывная функция от
* (*-«)* + 1
в интервале 0 ^ х < 1 и значит по теореме Weierstrass'a существуют такие константы Ck , что
