О некоторых вопросах теории моментов - Ахиезер Н.
Скачать (прямая ссылка):
= 1 (5 = 1,2,...).
С другой стороны, в силу (18) и (19) при любых натуральных
SHt
і S+р Л ; р
Ig(A)Pi -g (A) PiIl=I 2 SiskPk- S SitkPk і; =
tS < ft=is-p U=H-P
is+p it+p = S 4 + S >2;,л
к—is—P k=if—p
л <
Следовательно, из последовательности g(A)Pis невозможно выделить о-сходящейся последовательности и оператор ?(Л) не является вполне непрерывным.
Пусть теперь, наоборот, выполняется условие (17). Покажем, что в этом случае оператор g (Л) вполне непрерывен.
Рассмотрим для этого произвольную а-ограниченную последовательность {<?„} элементов из Cr (I<рпij < jW, я,= 1,2,...). Пусть
а 00 л
Tn=ScV0P*,
?=0
а следовательно,
OO
<20) I if=^ да» < M2 (я - 1,2,...).
к—О
218.В силу этих неравенств диагональным процессом Кантора можно будет определить номера Zt1 < пг < ... так, чтобы существовали пределы
IirПС™ = ск (к=0,1,2,...).
I-XXl
Заметим, с другой стороны, что если
SZ Л 1=0
то в разложении
°° А
HiIrWf = S^
/—О
величина ї)Дг = 0, 1,...) получается следующим образом:
л=»—р
і+P
= 2 SftSr
k—i—p
Следовательно,
і J-P і+р
S «Ь S o
ft=/—P ft=(—P
и значит, если
<21) I^ifcKe при г>Л/г,
то
оо оо
<22) ? ч? < (2р+1)» е» ? Zl = (2/1+1)» j , (J.
J=JV+1 ft=0
Таким образом, если положить
(23)
i=0
то
' (г = О, 1, 2,. .),
ft=i—р '
и следовательно,
(24) lim = V ^fc Cft * (i=0, 1,2,...).
Кроме того, если для заданного е>0 выбрать M так, чтобы выполнялось условие (21), то в силу (20) и (22)
OO
(25) S <Tf)a<(2p+l)*e>Al».
I=ZV+1
219.Соотношения (24) и (25) позволяют утверждать, что последовательность {ф„} о-сходящаяся, а стало быть, оператор вполне непрерывен.
Действительно, согласно (23)
оо N со
Hv -^=SK10-1T Г < SKrt--TfI2+2 2 ьгт +
/—О /=O I=NjTl
со N
+ 2 S HwI2^Shw-I2+ 4(2р-Н)2г2М\
А следовательно, если выбрать так L, чтобы
JV
S17Icrt — vf I2 < S2 при її, V > L,
что, согласно (24), всегда возможно, то
I^-1uvj2<e2[l+4(2p-H)aM2] при p,v>I.
Утверждение Г доказано.
3. Дальнейшие рассуждения мы будем вести в предположении, что g(t) некоторая, вообще говоря, непрерывная функция в интервале <—R, /?>, в частном случае могущая быть полиномом. При таком предположении мы под g(A) условно уже будем понимать линейный оператор, определяемый равенством
g(A)* = g{f)y(t) (<? С Cr).
Условимся, кроме того, если E некоторое множество из интервала <—/?,/?>, понимать под g(E) совокупность всех значений функции g(x) на Е, при этом мы каждое значение будем считать столько раз, сколько раз оно принимается1. Кроме критерия 1° того, чтобы оператор g(A) был вполне непрерывным, имеет место еще и такой:
2°. Линейный оператор g(А), где g (х) некоторая функция из Cr, вполне непрерывен тогда и только тогда, если множество g(E5) имеет своей единственной точкой сгущения точку нуль.
Действительно, допустим, что множество g(Ea) имеет, по крайней мере, одну точку сгущения отличную от нуля. Тогда будет существовать такое ^ > 0, что в бесчисленном множестве точек из Е„ будет выполняться неравенство |g(x)|>}i.
Так как функция g(x) непрерывна, то найдется такой подин- і тервал / интервала <—в котором будет находиться, бесчисленное множество точек из E5 и в котором будет выполняться неравенство |g(x)| > о. (х С /).
1 Последнее условие играет роль При определении точки сгущения mho' жества g(Ea).
220.Обозначим через Cj множество тех функций <р (л:) С Cr , которые обращаются в нуль всюду вне интервала /. Заметим, что
(26) Itf(A) <р|. > » если Ч С с'-
Действительно, осли <р С C1, то
R
I ЙГ(Л) ? ? = J g2 (X) f (X) do (X) =Jg2 (X) f (X) do (*) > -R J
[ Ш2 (*) ^O (*) = ^jtf
2
С другой стороны, так как внутри / функция <з(х) имеет бесконечное число точек роста, то C1 содержит бесчисленное множество о линейно независимых функций и, следовательно, содержит некоторую ортонормированную бесконечную систему функций1. Для этой системы
( 1 (i = k)
(Ь, 0 {іфЩ (i,k = \,2,...),
а следовательно,
|(pm|, = 1 (т = 1,2,...), |<рт-?„|. »/2 (тфп; т,п = \, 2,...). Но тогда в силу (26)
I g (А) Чт—g (А) I. = ! g (А) (<рт—?„) I > v I cpm-<P„ \ = V-V 2 (тфп),
и, стало быть, оператор ?"(Л)не является вполне непрерывным.
Пусть теперь, наоборот, множество S-(Eci) имеет единственную точку сгущения равную 0. Тогда, если в некоторой точке t0 С E5 функция g{t) имеет значение s0 = g(f0), то точка t0 является точкой скачка функции o(t), т. е. e(?o + 0) — o(t0 — 0) > 0,
1AeviCTBHTeabHo, пусть функции фь Ф*. ••• ^n (C^n)C О) 3 -линейно независимые функции. Тогда форма
я п п
(я- 1,2,...)
S №. Фь) & & = j b^Y (О
положительна и, следовательно, детерминант формы Д„ = | (фг, фь) > О (п = 1, 2, ...). Положим тогда
I (Фх. Vi)--- (?. фі
__L_ і ti) • • • (фг. фя-l) 4*2
(b. 1W . -. (ф„,
(п = і, 2,. •.; Д» - і).
Легко проверить, что последовательность ( <sn } является ортонормирован-иой системой функций и, очевидно, что { ?П } Г С С/ ¦