О некоторых вопросах теории моментов - Ахиезер Н.
Скачать (прямая ссылка):
(49) Ci0, G1,.. .O2mfl
ненегативна в интервале <!—1, 1>.
Переходим к доказательству достаточности. Пусть последовательность (49) ненегативна в интервале <— 1, 1 >. На основании теоремы 16а главы 1 однозначно определяется представление
І P.S- (& = О, 1,..., 2т + 1),
/=і
где р<т + 1, Pi >О и
— 1 <?,<?.<... <?Р<1. Следовательно, существуют такие числа гц, что Si < тії < S2 < • • • < < "Цр-1 < Sp
и
(2-?)..-(г — y_t) _Jo.,_fL і ¦ а2т+і і (г-ЬНг-б,)... (г-Q" г гг ^m-f-2 • • • •
Поэтому по формуле (48)
1 f ^o s2m_ 1
Л, +-+^+1 і ^ 1
(3-^)...(3-Sjd-I) (г — Sp ) 2Ш+2Ф V г J
Отсюда, повторяя уже много раз применявшийся переход, мы получим, что
Sq , і stm . _
г T • • • T T----
=__Lq / _J__(і_sipn (*-т.)-••(*-») \ dx
2 uJz-X У sl^n (X-S1)...(X-^p) jaX' —і
117. так что
—і
и, следовательно, по формуле (48,)
fx*"g(x)dx - G { 2 S*+'-SVI (? = 0, 1,..., 2m).
-і 'г= о /=1 1
Таким Ъбразом, квадратурная формула (45) построена, и теорема полностью доказана.
Пример
Пусть ^W= 1(— 1<jc<1). Согласно формуле (48^
11 1 1 1 Sk = 1Гм{-2 +^xk+ldx I -- fxHl+x)dx (? = 0,1,...),
а так как
-2< — (1+.*)<0 (-K^d),
то в силу замечания к теореме 5 (если положить 0 = -1,1 = 1) определяемая с помощью разложения (48) последовательность
"о. ffI.-••» Cn
позитивна в интервале <— 1, I > при любом п.
Отсюда вытекает, что для любого т существует квадратурная формула порядка 2 т + 1
І і m+i т
[F(x)dx=2{ 2^(?)F(Ч) Ji І і=і і= і
где
— 1<5і<%< ••• <Е|В+1<Ь
В частности, справедливы следующие найденные А.] А. Марковым [136] формулы
і
fF(x)dx~2F(0)+~F'(Za),
—і
JF(X) dx = 2 (/1) - F (0) + f(-/J) }+ ^F(IV) jF(x)Ax = 2{F ( у |)-F( j/§) + F(O)-F(- /§) +
118. Следующее предложение в некотором смысле дополняет теорему1 16.
Теорема 17
Если квадратурная формула (45), (46) справедлива для любого многочлена степени<2т+1 и если узлы Si, 7j, не удовлетворяют неравенству
— 1 < S1 <%<...< Zm+l < 1.
то последовательность ;
f
Snk= fxkg(x) dx (ft = 0, l,...,2m+l) -і
не может быть ненегативной в интервале < — 1, 1 >•
Доказательство
Пусть квадратурная формула (45), (46) справедлива для любого многочлена степени -<2т + 1 и пусть последовательность s"k (ft = 0, 1,.2от + 1) ненегативна в интервале <—1, 1>.
Не нарушая общности, мы можем принять, что ни один из узлов т)і не совпадает ни с одним из узлов S/, и мы должны, следовательно, доказать, что, во-первых, узлы Tji перемежаются с узлами S/ и, во-вторых, что S, > — 1, Sm+i < 1, причем, как узлы так и узлы Tji перенумерованы в порядке роста.
Начнем с доказательства перемежаемости. Допустим, что между узлами Sft и не лежит ни один из узлов •*],.
Пусть
7Ii <Ча < • • • <%<?*; SA+iCty+i <••• <т)т.
Легко видеть, что либо і > ft, либо т — i>m+1—ft. Примем для определенности, что і > k.
Построим многочлен F(x) возможно более низкой степени, удовлетворяющий условиям
F(S1) =1, F'(Z1)=O
F (Zk-1)=1,' P(SftIi) = O Z7(Sft) - 1 F(Zw)=F(Z^1) = O.
F(Zm^) = Ff(ZmJ1)=O.
Так как для определения многочлена F(x) дано 2/и+1 условий, то степень F(x) не выше 2пг.
Производная от F(x) имеет нули S1, S2,..., Sft-I Sft+i,..., Sm+i по условию и, кроме того, по крайней мере, по одному нулю в каждом из открытых интервалов
(Sil S2), (S2, S3)," (зд-b Sft), (Sft+1, Sft+г),. . ., (S„„ Sm+1 j
1 Это предложение было любезно указано авторам акад. С. Н. Бернштейном.
119. в силу теоремы Rolle'fl, т. е. еще, по крайней мере, т—1 нуль. Отсюда видно, что F'(х) имеет точно 2т—1 нулей (а значит F(x) есть полином точно степени 2т), так что в интервале (Ss і Sft+i) производная F' (л) в нуль не обращается, а в остальных из интервалов (S1-, S/+i) имеет точно по одному корню С,-.
Так как F(Sft)= 1, Z7(Sft^i) = O, то в интервале (Sft, Sft+i) полином f(x) убывает, оставаясь неотрицательным. Отсюда следует, ЧТО B точке Sft+1 МЫ имеем минимум, В точке Cfc+i максимум и т. д. Подобным образом найдем, что в точке С*_і будет максимум, в точке Sft—і минимум и т. д. Эти соображения показывают, что полином F(x) на всей оси неотрицателен, а при A<Sft, кроме того, удовлетворяет неравенству F(x) > 1. Рекомендуем читателю построить график полинома F(x), чтобы лучше проследить указанные нами его свойства. Применим теперь к F(x) формулу (45). Так как полином F(X) всюду-неотрицателен, то в силу ненегативности последовательности s"0, s"v..., s2'm+1 имеет место неравенство
і
jF(x)g(x)dx> 0. —і
Займемся теперь правой частью. Она равна в силу выбора F(x)
G {Ь - ^F(Tii) j. < GI k - ^F (?) J < 0,
так как i>k и F(t\j) > 1 при j =\,2,..і.
Мы получили, таким образом, абсурд, и, значит, перемежаемость узлов доказана.
Переходим ко второй части теоремы. Допустим, что %т+1> 1. Возьмем многочлен
F(X) = (х-I1Y... (х- SJ2O- ¦*)•
Для него квадратурная формула (45) справедлива. А так как F(x) > 0 при X < 1, то в силу ненегативности последовательности S0, S11',..., s^m+i имеет место неравенство
