О некоторых вопросах теории моментов - Ахиезер Н.
Скачать (прямая ссылка):
= (^=0' і, от=И+1)> »'=1
где Pi > О и — 1 < S1 <&2 <... < Sm < 1.
С другой стороны, полагая в разложении (11") 8 = 1, мы можем написать соотношение
ЛИ ,Juul'i+ _!_«с.Ll =
JC + 1 '2 L(x-
91. Поэтому
S0(I) , V11W
" + „9 т- • • "і тт
X
т
X+l
'2L(x+ )+ хпм ^{х )-2L^iX-Si
I— 1 1:0
где
V=-I, !-о = 21-^yqre;, ^=1?.- ^=1; / 1 !
Отсюда видно, что для достаточно больших L > 0 последовательность
O0(Z), O1(L), On l(L)
будет позитивна в интервале < — 1, 1 >, а значит, проблема (29'), (29") будет иметь решение.
Таким образом, мы доказали первую часть следующего предложения. Теорема 11
Пусть {Sft} есть произвольная вещественная последовательность, если — 1 < 6 < 1, и позитивная (негативная) в интервале < — 1, 1 > последовательность, если 6=1 (соответственно 9 = — 1). Тогда:
a) При достаточно больших L>0 проблема (29'), (29") всегда имеет решение.
b) Нижняя грань X всех таких L есть наибольший корень уравнения
I2(^)Iom=O
при п = 2т+\, и уравнения
i + W ^lom-10ii *w-W w Iom=0
при п = 2т, где числа ak (L) определяются из разложения (11").
c) При I = X проблема (29'), (29") всегда имеет одно и в существенном только одно решение fx (и), которое является Х9-функцией порядка р—1, где р-*Сп +1 есть ранг последовательности
°оO-), 0), - --,Zn і (X).
d) При ? > X проблема (29'), (29") имеет два и только два решения, являющихся /(J- функциями п о -
92. рядка я + І;- одно из этих двух решений в правом конце интервала < —1,1>равно 1(1 + 6), тогда как другое решение этим свойством не обладает. Доказательство Утверждение а) уже доказано.
Утверждение с) следует из теоремы 5 настоящей главы. Утверждение Ь) вытекает из теоремы 19 главы 1. Перейдем к утверждению d).
Воспользовавшись теоремами 13а, 14а— 15а главы 1, мы можем построить два и только два представления позитивной последовательности І о і (L) j"+1:
т
Ok(L)=Yb^ (?=0, 1,2, ...,я+1),
7-1
где1
т
i=\
при этом в одном из этих представлений Sm = 1, а в другом 5т<1-
Рациональная функция
т
Л (X) _ (X-T11)... (х -TTlm^)
' т—l) _ V Ii_
-Im)- Lx-^i
V(X) (X-S1)... (X-Zm)-JLiX-H
і=I ' sO 3I (L) °плл (L)
очевидно, обладает тем свойством, что
< Tji < • • • < rIm-I < ^m-
Положим
I ф )
fh (U) = L у 6 + Sign ^ j;
тогда, как нетрудно проверить, —х
Напомним, что є, =I^' "'" * ^ "-7
если —• 1< 6,- < 1, если I S7- J = 1. А следовательно, в силу соотношения (1Г),
J X-U T+ Л-^1 + X«+2 —і
Откуда fLb(U) является решением проблемы (29'),(29"). Легко также видеть, что fLb(u) имеет именно тот характер, о котором идет речь B утверждении d), и если Sbi= 1, TO
/ (и) = L (1+0) при Tim^1 <U<1,
1B
\
а если Zm < 1, то
/ (H) = L(I-S) при SmCHCl.
Обратно, если fit(u) является решением проблемы (29'),
29"), удовлетворяющим условиям утверждения d), то, обращая проведенные рассуждения, мы прийдем к выводу, что функция порождается одним из двух указанных канонических представлений позитивной последовательности ja*
Теорема И, таким образом, полностью доказана. Утверждение d) теоремы 11 можно обобщить и на тот случай, когда
|9|>1-
Рассмотрим вообще степенную проблему
I
(*) sk=juf(u)du (?=0,1,2 ,...,и),
—і
где на / (и) наложено требование
(**) « </(«)< ?.
Будем говорить, что функция /о (и) является (а, ?j-функцией порядка т., если она всюду равна а или ? и имеет точно т точек разрыва, которые все лежат внутри интервала <—1, 1>. Пусть теперь последовательность { Sk )п0 обладает тем свойством, что проблема (*) (**) не имеет решения, являющегося (a, ?) - функцией порядка < п. Тогда можно утверждать, что проблема (*), (**) имеет два и только два решения, являющихся (a, ?)-функциями порядка л, при этом из двух решений одно равно ? в точке + 1, а другое равно а. Проще всего в этом убедиться, заменяя искомую в нашей проблеме функцию / (и) на функцию f(u) —
— и соответствующим образом преобразуя последовательность моментов { Sft } "0>
Аналогичное предложение справедливо для тригонометрической /,-проблемы1.
1 См. Н. Ахиезер и М. Крейн [la, Ii].
94. Чтобы не повторять приводившихся рассуждений, ограничимся формулировкой для простейшего случая: Теорема Ila Пусть
c1, с2,..., cn-1
есть, произвольная комплексная последовательность.
a) При достаточно большом L> 0 проблема
— L<f(t)^L (Q<t<2%)
Ck = J f(t)eM dt (k=0, 1, 2, ... ,.ft — 1)
о
всегда имеет решение.
b) Нижняя граньХ всех таких L есть наибольший корень уравнения
Ъ (L) Ь(Ц ...ln-i(L) ^1(L) ^io(L) (L)
О,
'1-(п-1)Щ ...V10(L)
где числа Ik(L)=Ib определяются из разложения. (4) ехр { {L (-J-+ c1z+ ... +cn-jz"-!)J =
= 1 + ••• +>-1«"-1+..., То =^+7=2 cos ^ =
с) При L=X проблема (2) всегда имеет одно и в существенном только одно решение f\(t), которое является Х-функцией порядка 2р, где р есть ранг последовательности
YoW, Yi O-), • • • , Yn-i OO-
Заметим, что построение функции fx (t) по коэфнциентам с0, с,, ... , может быть выполнено способом, указанным в доказательстве теоремы 1.
