О некоторых вопросах теории моментов - Ахиезер Н.
Скачать (прямая ссылка):
Пример 1
Пусть заданы
C0= C1= ... =- c„_s = О, C„_a, (и > 3>
Уравнение (4) принимает вид ЄХР І2Г (C«-^"~2+cn-i3n_1)}= Ї + Т^+ .-.+Tn-I^"-1+...
95. и дает
7=1, Tfi =¦ ••• = = О,
і _ і
In—2 ~ 2сч—f п—і — »-1 ¦
Следовательно, уравнение для нахождения X есть 2
і і О ... О 2L сп-2 2Г
О 2 ... О О О 0 ... О О
2L п-2 О
0 ••• 0 2 °Л
і — сп-1
2Z.
21^--0 О
или
16 -1« (2 I С„_2 |» + I С„_х12) + ! 1* = 0.
Отсюда
V= і c"-i ^+/к-.т+41 с„ _2 р }.
Таким образом, если
/О«
1 2*
—/ftf
то
vral max
о < і < 2*
Пример 2
Заданы
Здесь
2 с*е- {Ч=-ск),
I ft | > П—2
і/(О і >-f {I '„-і I + j •
C0 > 0, C1 = . . . = Cfl—.о = 0, Сп_х
(Я >2).
Со
ic0
То = 2 cos , Y1 - ... = Tn—2 = -In-I = 2І ¦ е 41 ¦ Поэтому уравнение для определения X принимает внд
COS
1tCp / t _?о _L 41 \cos 4Z. — 161а І
Наибольший корень уравнения
лс» п
cos Ж- = 0
5 I с„ , PJ=O.
U1 есть с„, тогда как уравнение
"siT-Wlc-Is = 0
имеет при c„_j ф 0 больший корень, ибо его левая часть отрицательна при I = - - с0 н положительна при L = оо Таким образом, если
+ 2І с*е (Со > 0, л >2),
I ft I > /1-І
то
vralmax |/(0 I > X,
О < t < 21
где \ наибольший корень уравнения
cosT^ = І I ^-1I-
Перейдем теперь к рассмотрению некоторых минимум-проблем, которые примыкают к теоремам 11 и 11а.
Проблема 1
Даны вещественные числа
( S >
\ ,1=0 '
So, S\, •. . , Sn
,U=O
и некоторое число б (—1<0<1). Рассматривается совокупность всех ПОЛИНОМОВ ' .
Р(и) = a0 + atu+ ... +anii",
коэфициенты а0, ак,..., ап которых удовлетворяют соотношению'
(30) O0S0+ ^+...+CflSn = I.
Tреб уется найти минимум и н тегра л а
1 W -/{|Р(и)| + вЯ(и))^и,
а также все те полиномы P (и), для к от о-р ых-этот минимум достигается.
Замечание
Мы получим проблему Коркина-Золотарева (в сущности говоря, как нам любезно указал Я. Л. Геронимус, уже решенную П. Чебышевым [18а], а затем повторенную Коркиным и Золотаревым [7], Stieltjes'oM [39ft], Fujiwara [26а] и. С. Н. Бернштейном [За]), если мы положим 0=0, S0 = S1= ... =Sn-I=O, Sn= 1.
Ахиезер и Крейн—65—7 97 Решение
Согласно утверждению с) теоремы 11 решение проблемы
1
Sk = JUk f (и) du (?=0,1, ... , п)
—1
— L (1— ех/жMl +9) при наименьшем значении L, т. е. при L = X, имеет вид Л (и) = X {9+sign ФИ},
где ф(и) есть некоторый многочлен степени <«.
Пусть далее P (и) есть произвольный полином степени ^п, удовлетворяющий соотношению (30). Тогда
п п 1 1
1 = ? Stai =%а( f и% (и) du= f P (u)fx (и) du =
1=0 і—0 Jf1
I 1
= xj Р(и) {0 sign ф (й) } du<\J{ i P(u)\ + eP(u))du -і —і и, значит,
/[Р]>х-
Знак равенства в этом соотношении, очевидно, достигается только тогда, когда P (и) есть (удовлетворяющий равенству (30)) полином (степени -<п), для которого
\ P(U)I = Р(и) sign Ф (и).
Покажем, что такой полином действительно существует.
С этой целью возьмем произвольный неотрицательный в интервале —1<и<1 полином 0(и)ф0 степени п—р + 1. Так как
д(ц)ф(и)>0 (_1<и<1)>
то
X
/ fx(u)<b(u)Q(u)du = C>0.
—і
Положим
Poiuy-2ШІЕІ
так что
і
/ P0(U) Ми)du = I,
—I
и значит полином P0(и) степени п условию (30) удовлетворяет.
98. Кроме того,
IP0(U) I = HlWfm = 5Hp* sign Ф (и) - P0(и) Sign Ф(и), откуда в силу сделанного замечания
/[Pol = X-
Таким образом минимум интеграла /[Р] есть -І-, где
X— число, определенное в теореме 11, причем этот минимум достигается тогда и только тогда, когда
P(U) E P0(U) =
где 2(и)ф0 произвольный неотрицательный в интервале— 1<и<1 многочлен с T е п ен и < п — р+1 и
C = J /х(в)Фґв) 9 («)</«;
полином P0 (и) единственен, т о-е сть Q (и) есть константа, тогда и только тогда, когда р = n-j-1. т. е. когда и»двух форм
т+1 т
? Ol4ft(X)X1Xft, Yt I3«+* M-flI-H-+2 (X)J X1Xft і, A=O /', ft= О
при п = 2т, + \ и из двух форм
т т
S I3*+* 00+0i , Vi (X)-oj-|fttl (X)]XiXk
і, A=O і, A=O
при п = 2т одна является положительной. Пример
Пусть S0 = S1 = ... = = 0, sn — 1. Разложение (11*) принимает вид в і
-ІОПГЇ \x+l) * ** Xu-1 Л 2L Jxn^+
— (*Z±Y _ , , .. ,
Yx*—l\x+l) л:2 xn+1
Мы уже отмечали выше, что
определяются из ряда
О , 0I . , , °я , "я + 1
, + . - . » . «1-А . /
+ -V + ••• +-ТТГ +-SXT + • • • ('O=I)-
1 (±zzD\2 . _L cos J^L Г_\__( I^jlY
yV - 1 + 1 / * 2J VrI-UsVl + "/ и
—1
99 Поэтому
1 ... «o It
<«> —cos 2
і
й Г 1 /1 — и \2 du gzi+i
rj VT=^vt+«; x—u ет * ^i+2 + -і
и аналогично можно получить, что " 1 1+е
-LcosTf-V -^--0'-'1 -.
я JV1+«/ JC-«
+ ¦
!+... +
"Я "/Ifl
и+1
9—1
. , 1 «0 (Tf)-COS-у
(5)
Л1 —ц \ 2 du _ ge + | + + _ _ + g/i +gZI+1 +
1 + и / JC — И X Xt "' хп+1
—1
1 ' 1 «9 Г -_/I —и\2 du О,—е.,
-COSirJ fTt— = V"4
X* дг
Отсюда следует, что определители
I „ Im I - I Im I Iя* I Im
I 0Zfft |0> I 3Ifft + °< f ft-t-i |0 I g/+ft —gi+ft+i |0i j 0;+ft-°H-ft4i j0
