О некоторых вопросах теории моментов - Ахиезер Н.
Скачать (прямая ссылка):
1 В частности, беря ck =1 (k = О, I,..., л —1), мы получим уравнение (трансцендентное) для величины
max 17(?)!
„„„ <><у<2*_
suP -Tn-»
h
Jl T(V)Id9
а беря ck = ik (k — 0, 1,..., л—1), найдем алгебраическое уравневне для величины
шах |Г(<р)|
0<<р<2п
sup __ї---
о
105. суммы (l_k = Sft) и предложивший для доказательства несколько иное рассуждение
Заметим также, что недавно Я- Л. Геронимусу [4] удалось найти решение задачи о минимуме интеграла (**) (при Sft = Sft),
если задано s старших коэфициентов Sk, причем s < [^j-
§ 5.
1. Заканчивая настоящую главу, рассмотрим одно применение найденных нами результатов к вопросу о построении особого вида квадратурных формул, которые впервые были даны П. Чебышевым [18UJ, а в дальнейшем при несколько иных условиях рассматривались А. А. Марковым.
П. Чебышев в § 7 своего мемуара ставит задачу: найти приближенно интеграл
і
Jf(X) q (х) dx, — і
где заданная функция q(х) удовлетворяет условию
і
(31) / q (х) dx = О
—і
с помощью формулы
(32) "//(a) q (X) dx=K ? {/(а,) -/<?,)}. -і І=І i
Так как правая часть равенства (32) содержит 2т + 1 параметров (вещественное число К и лежащие в интервале — 1<х<1 узлы <хіг ?j), то для нахождения их П. Чебышев требует, чтобы формула (32) была точной, если f(x) есть произвольный многочлен степени < 2ffi +1 (свободный член многочлена роли не играет в силу условия (31)). Поскольку
1 Xlm f 2
где Psm+iW — многочлен степени 2гп-\-\ от х, то на основании указанного требования при существовании квадратурной формулы (32) должно иметь место равенство
1 т
J Z-X AL\z-«i Z2m'3 Vz/
—1 i=l
1 Этот факт, равно как н аналогичный в случае степенной проблемы, по сути является простым следствием некоторых общих положений, указапных еще F. Riesz'ом и Hahn'ом, о чем см. § 3 статьи IV настоящей книги.
106. откуда
f <?(•*) log (z — x)dx = /Clog
?(2)
<K*)
5,2/71+2 ( г ) '
где
<P (г) = (г _ в1)... (z — am), <]»(2)-(z —?,)...(z — pm), и, следовательно, і
- у J Я (X) log (2- x)dx
(33) * -1
<p(z) Z2m+2
В силу условия (31) мы можем написать, что і і Jq{x)\og{z-x)dx~J q (х)log(l--J-) dx
W 1
—l-rrfiw**-
V=I —1
Поэтому, вводя обозначения
(34)
k + і
Jq і*)
dx
(? = 0, \,...,2т),
мы получаем в силу (33) соотношение
+ * у_ ^(г)
(33')
1
.2 m+t
(і) ¦
Отсюда на основании определения (13) величин tk(L):
<35)
1 +
I0(K) tx(K)
'г т
(К)
ггт+1
IifL
Таким образом, если квадратурная формула (32) имеет место, то должны существовать полиномы y(z), ф(г) степени т с корнями в интервале <—'1, 1> и вещественное число К, для которых выполняется соотношение (35).
Этот результат показывает, что число К должно удовлетворять уравнению
tb(L) ... (L)
(36)
tm(L)...ttm(L)
107 и тем самым получается следующее правило для построение квадратурной формулы (32) :найдя корень /(уравнения (36)>
следует определить дробь -lTj- степени т с п о-
tP (г)
мощью разложения (35), после чего узлы а<, ?< определятся как корни знаменателя и числителя ука-заннойдроби.
Сам П. Чебышев дал правило в несколько ином виде, пользуясь алгорифмом непрерывных дробей, но мы на его формулировке не остановимся, а заметим, что как приведенное нами правило так и правило самого П. Чебышева немедленно вызывают следующие вопросы:
1) имеет ли уравнение (36) вещественные корни?
2) при наличии вещественных корней существуют ли дроби
удовлетворяющие соотношению (35)?
3) при наличии указанных дробей будут ли корни их числителей и знаменателей лежать в интервале <—1, 1> ?
Все эти вопросы П. Чебышев не рассматривал, а между тем можно указать простые примеры, когда ответ на поставленные вопросы отрицателен. Ограничимся одним примером.
Пусть
q (*) = Ax + Bxs + Cx5,
где А, В, С определены ИЗ условия S0-1. S1==S2 = Sj = Or S4=—1; простое вычисление дает, что
M*)- ^(?-720),
ф (г) _ \2К*г*+бКг+ 1 ~<f(z) ~~ UK2Zt-QKZ+ 1'
Через 20 с лишним лет после мемуара П. Чебышева появился мемуар А. А. Маркова [13&], в котором А. А Марков также занимается вопросом о построении квадратурных формул • (32).
А. А. Марков, слегка ослабляя условие П. Чебышева, поставил требование, чтобы формула (32) была справедлива для любого многочлена f(x) степени С 2т.
Благодаря этому А. А. Марков получил возможность указать весьма широкий класс функций q{x), для которых формула (32) имеет место; даже более того, при любом т А. А. Марков находит бесчисленное множество формул (32), а именно по одной формуле для каждого значения К из некоторого интервала.
откуда
108. Характерным для формул А. А. Маркова является перемежаемость узлов Cti с узлами
Однако, А. А. Марков не нашел необходимых и достаточных условий, при которых его формулы существуют. Вместе с тем только решение этого вопроса позволило 1 обнаружить глубокую связь, существующую между формулами А. А. Маркова и одним типом формул П. Чебышева и тем самым исследовать последние.
