О некоторых вопросах теории моментов - Ахиезер Н.
Скачать (прямая ссылка):
(№ V /m V
1 См. статью 1, гл. 1, теорему 1.
136.где ? и rj вещественные числа, а значит, последовательность неотрицательна в интервале (0, со) тогда и только тогда,
когда формы (28) неотрицательны.
Ь) Пусть Ra, ь означает множество всех рациональных чисел, лежащих внутри конечного или бесконечного интервала (a, b). Пусть Е={ех'}(—со<?<со), где Л пробегает множество Ra, Ъ-Ансамбль E состоит только лишь из нормальных функцйй. Действительно, если <р (t) = ех°', где ха С Ra, ь, то, выбравши в Ra, ь числа х' < X0 и х" х0, мы сможем положить
,(t) = ex'l + ex"l (— оо<*<со).
(О,
Таким образом, по теореме 4 каждому позитивному функционалу $ в E отвечает неубывающая функция о (t)(—оо <?<оо) такая, что
оэ
f(x) = Щ (е*1) = /е*Ші). (х С Ra, ь).
- OO
Выясним теперь, каковой должна быть функция fix), чтобы функционал $ был ненегативен в Е. Условие ненегативности Ф заключается в данном случае в том, что из неравенства
п
(29) VW = YtCbejl*' >0 при — оо <?< оо
і
(XkQRa.b\k=l,2,,.. п)
должно следовать неравенство
1
Предполагая Jtl < X2 <... < хп, приведем рациональные числа XkK" общему знаменателю; пусть
где N и tnk(k=l,2,...n) целые числа. Положим
и = е^\
тогда неравенство (29) можно будет записать в следующем виде
я
<Р(t) = P(и) = Yc* ат*> 0 при О < ц <оо, 1
или в виде
п
P1 (й) = И-т'P(U) = Yi0k ить-т1> О при 0 < и < OO.
1
138.Но неотрицательный в интервале (0, оо) полином P1(U) допускает представление
Л И =-(2?"*) + и (Ііч*«* Ї= 2 +
\ О ' \ 0 ' ), *=0
следовательно,
¦Р /+? т т,, f
<р(0= 2е " M*+2* Л'
Л ft =O /, й=о
Отсюда неравенство (29) эквивалентно следующему
<зо) ад - 2 /(itT^)M + 2 f(I±A^ri±1-)w>o.
j, ft=0 Л A=O
С другой стороны, последнее неравенство выполняется, если
при любых XfCRatbUssiI2----п) таких, ЧТО Xj+ Xk С Ra,b(j,k=
= 1, 2,...п) форма
так как каждую из форм, фигурирующих в (30), можно представить в виде некоторой формы Ф. Таким образом условие {31) является достаточным, чтобы функционал ф был ненегативен. Так как
то оно является также необходимым. Мы пришли к предложению:
Для того, чтобы функция f(x) определенная в Rtttb, допускала там представление
OO
<32) /(*)= jextda (t),
' - OO
где o(f)(—со<?<со) некоторая неубывающая функция, необходимо и достаточно, чтобы при любых XjCRa, й(у' = 1, 2,... п) таких, что a <xj + xk < b(j, k = l, 2,...я) форма
(33) 2 f(xj + xk)^k
і, ft—1
была неотрицательна.
Из этого предложения немедленно следует теорема Wldder'a, [42] гласящая, что функция f(x), определенная внутри интервала (а, Ь), допускает там представление (32) тогда и только тогда,
138
когда она непрерывна и при любых Xj(j = 1, 2,...л), лежащих вместе с Xj + XkiJ, k=l,2,...п) внутри (а, Ь), формы (33) неотрицательны.
§ 4
Кроме нормальных функций, представляется еще целесообразным рассматривать полунормальные функции, которые определим следующим образом.
Функцию <f(t)CE будем называть полунормальной, если она удовлетворяет условию 1° (см. стр. 133) и если ей соответствует, по крайней мере, одна неотрицательная с конечным числом точек разрыва функция Wlf (i) С Jb1, для которой [вместо (16) и (17)] имеют место соотношения
(33) 11т!п(Ж>0 U = I, 2,...т)
4 ' і-ну «>,,(*) '
и
(34) Ilminf -1? >0. (К/).
х|-> oo 0vrj ^
Очевидно, что всякая неотрицательная функция <р (t) С Я, имеющая конечное число точек разрыва, полунормальна (для нее <о9 можно взять равным <р(?)).
Теорема 5
Функция о(t), построенная при доказательстве теоремы 4, обладает еще тем свойством,-что для
любой полунормальной функции <р(?)СZ?
*
(35) $(<?)> f<!(t)d°(t).
і
Доказательство
Так же, как при доказательстве теоремы 4 мы можем предполагать, что интервал I бесконечен, а полунормальная функция tp(zf) непрерывна в /.
В силу (34) мы будем иметь для любого s>0 неравенство
— sw9(t)<4(t) при К/, |*|>№,
где Nt > О число, зависящее от е. Сопоставляя его с соотношением (22), мы легко убедимся в том, что все последовавшие за (22) рассуждения останутся и теперь в силе, если мы в соотношениях (23), (24), (25) и (26) сохраним только лишь левые неравенства. Следовательно,
(36) /<р W do (*)<$(?)+«$ К).
Я
1 Условие, что функция (t) имеет конечное число точек разрыва, вероятно, является лишним (при определении нормальных функций оно не фигурировало), во мы не знаем, как от него избавиться.
139.Отсюда
\(t)do (?) «$(?)»
и
если интеграл, стоящий в левой части, существует. Если <р (О > О, то этот интеграл, в силу (36), наверно существует. Таким образом, мы можем считать (35) доказанным для неотрицательных полунормальных функций (звездочка при интеграле появляется, если <р (t) имеет разрывы в /). В частности, существует интеграл
J'(I)t (t) do (*)<$ К). 1
Так .как, кроме того, при определенном выборе точек а, ? С / (я < ?) и числа M > 0 функция
ф [t) = ? (t) + ш, (t) + M [5Р (t) - S. (f)] it С />
неотрицательна, а следовательно, существует интеграл