Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
3.3. е. Замечания о некоторых многомерных задачах. Наконец, мы хотим отметить, что описанный прямой метод нахождения солитонных решений применялся и к некоторым многомерным нелинейным уравнениям. Мы обсудим вкратце два примера.
Первым рассмотрим двумерный вариант уравнения КдФ, т.е. так называемое уравнение Кадомцева — Петвиашвили (КП):
(3.3.90а) (ut + 6uux + uxxx)x + auyy = 0, а = ±1.
Подставив и = 2 (log f)xx в (3.3.90а), получим
(3.3.90b) (DxDt + D\ + aDl)f-f = 0.
Сатсума (1976) [445], воспользовавшись описанным выше методом, показал, что iV-солитонное решение имеет вид
[N wI
Z HiM// + Z HM >
^ J
где
Tli = kt (х + Piy - C1I), C1 = Щ +ар], (3.3.91b) = з (kl-klf-a(pl-p{f
6 3(^ + ^-0 (Pi-Pjf
Это jV-солитонноє решение представляет собой набор N плоских взаимодействующих друг с другом волн.
Майлз [375, 376] исследовал некоторые условия, при которых две такие плоские волны резонансно порождают третью. Точнее говоря, он отметил, что сдвиг фаз, возникающий при взаимодействии двух солитонов, может быть произвольно большим. Идею Майлза можно легко понять на примере двухсоли-тонного решения (3.3.90) при а = +1. Отметим, что еАЧ = 0, если выбрать волновые векторы, удовлетворяющие соотношению
(3.3.92а) V3 (kx -k2)± (P1-P2) = O;
при этом двухсолитонное решение принимает вид
(3.3.92b) f= 1+е^ + е^.
Если предположить, что ki> 0, i=l, 2, то при х->—сю решение может быть нетривиальным лишь в окрестности характери- 3.3. Прямые методы построения солитонных решений 219
стик г]і = const или т}2 = const; при этом и ~ (fe?/2) sech2-! г]г> т. е. имеем два плоских солитона. Однако при х->- + оо решение будет отличным от нуля лишь при Г)1 — 1]2 = const. (Отметим, что / ~ «Л (1 + Л"4*) С 0 + е". -?).) Таким образом, в результате их взаимодействия возникает только одна плоская
волна — солитон и = (&3/2) sech2 где
T13 = Г), — Tl2,
k3 = k{ — k2, k3p3 = k^pi — k2p2, C3 — klCx кгСг
kl — k2
Если
«в,- = k{C{
(дисперсионное соотношение), то можно проверить, что из (3.3.92а) получаем
CO3 = CO1 — CO2.
Таким образом, k3 = k\—k2 и соз = сої — со2, т. е. мы имеем случай тройного резонанса, и два солитона при я-»—оо порождают третий при л:->-+оо! Отметим, что аналогичное резонансное взаимодействие возникает в бесстолкновительной плазме [514].
Интересно отметить, что метод Хироты B^ некотором ограниченном смысле срабатывает для уравнения sin-Гордон в (2+1)-пространстве-времени '):
(3.3.93) Uxx + Uyy — ин = sin и
[213]; (см. также [328], [82] и [506]). Произведя замену зависимой переменной
(3.3.94а) м = / Iog (у-)
в уравнении (3.3.93), получим
)f. Г =
(3.3.94b) (Dl + Dl - Dl) f • / =4 (Г' - Г2)-
Обнаружено, что формула
N
(3.3.95а) /= ? exP (Z OXZTI/+''I)+ ? ^M*/)
H = O1I \'=1 1 '
') На самом деле, двумерность пространственной переменной в найденных решениях является фиктивной и устраняется переходом в подходящую систему координат. — Прим. ред. 220
3. Различные перспективы
при
(3.3.95Ь) Лі = ktx + PiV - e>ti + k2 + p2-a>2=l,
удовлетворяет уравнению (3.3.94Ь) для произвольных ki, pi при N = 1, 2. Однако при N = 3 на это решение следует наложить дополнительное ограничение
Случаи N > 3 были рассмотрены в работе [280].
В заключение отметим, что: а) Хирота и Вадати (1979) [231] показали, как можно вывести линейное интегральное уравнение Гельфанда — Левитана из прямого метода; б) Хирота (1979) [223] предъявил примеры уравнений, для которых можно построить двух- (но не более) «солитонные» решения
в) Накамура [392, 393] воспользовался прямым методом для построения решений с одним и многими (двумя) периодами;
г) Оиши (1979) [403] показал, как с точки зрения прямого подхода можно рассматривать детерминанты Фредгольма и «непрерывный спектр».
3.4. Рациональные решения нелинейных эволюционных уравнений. Оказывается, что дифференциальные уравнения, которым посвящена настоящая книга, допускают в качестве решений некоторый класс функций, рациональных по пространственной переменной х. Эти рациональные решения впервые были получены в работе Эро, Мак-Кина и Мозера [36] (последующие результаты можно найти, например, в работах Адлера и Мозера [32], Абловица и Сатсумы [24]). В этом разделе мы будем следовать методу Абловица и Сатсумы [24]. (і) Для уравнения КдФ рациональные решения можно получить, вычисляя длинноволновый предел одномерных солитонных решений, найденных прямыми методами (скажем, методом Хироты). В частности, мы проведем вычисления для небольшого числа первых солитонных решений, а затем покажем, как осуществить этот предельный переход на языке преобразования Бэклунда (в билинейной форме) для уравнения КдФ. В результате получим рекуррентную формулу, позволяющую получить весь класс рациональных решений уравнения КдФ. Эти рациональные решения имеют полюсы на вещественной оси х. (іі) Эту же конструкцию можно применить для построения (рациональных)
(3.3.95d)
К Pі a, det k2 p2 Щ = 0. /г3 Pz W3 3.4. Рациональные решения 221
