Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
(И) Отрицательный результат, полученный для конкретного уравнения, наводит на мысль (и только), что никакой другой метод, обсуждавшийся в этой главе, также не будет работать. То же самое и для «прямых» методов построения Af-солитонных формул, описанных в разд. 3.5, 3.6.
(iii) Если рассматриваемое уравнение имеет первый порядок по t и конечный порядок по х, то достаточно ограничиться поиском линейных псевдопотенциалов. Затем задачу можно свести к алгебраической, т. е. к поиску алгебры Ли определенной структуры. Представляется, что в каждом конкретном случае задача может быть решена, но пока что, по-видимому, нет никаких общих результатов.
Ситуация становится еще более запутанной, если допустить, что псевдопотенциал зависит от производных более высокого порядка или уравнение имеет более высокий порядок. В этих случаях вопрос о существовании псевдопотенциала приводит к системе дифференциально-алгебраических соотношений, причем неизвестно, можно ли без потери общности ограничиться поиском линейных псевдопотенциалов.
3.3. Прямые методы построения солитонных решений — метод Хироты. Одной из интересных областей в теории распространения нелинейных волн является развитие методов построения точных частных решений определяющих их уравнений. Хирота получил много значительных результатов в теории уравнений, допускающих солитонные решения (обзоры некоторых его работ см. в [218], [224] и [226], [227]). Следует отметить, что прямые методы практически всегда срабатывают для уравнений, интегрируемых при помощи МОЗР, а иногда даже в тех случаях, когда соответствующие задачи рассеяния неизвестны. На практике прямые методы часто побуждали к поиску соответствующих задач рассеяния и иногда приводили к таким задачам (см. [450], [393], [449] и т. д.). Прямой метод основан на следующих идеях:
(І) Произвести замену зависимой переменной (это может потребовать некоторой изобретательности, хотя имеются стандартные формы). Преобразование должно привести эволюционное уравнение к так называемой билинейной форме, квадратичной по зависимым переменным. Хирота разработал новый подход, очень удобный на этом этапе.
(ii) Рассмотреть формальные ряды теории возмущений для200 3. Различные перспективы
этого билинейного уравнения. В случае солитонных решений эти ряды обрываются.
(iii) Использовать метод полной математической индукции для доказательства того факта, что предполагаемая солитон-ная формула действительно является решением.
В этом разделе мы тщательно проанализируем случай уравнения КдФ. Затем кратко приведем результаты, касающиеся других хорошо известных нелинейных волновых уравнений, и обсудим другие задачи, в которых этот метод результативен.
3.3. а. Уравнение КдФ в качестве примера. Рассмотрим уравнение КдФ
(3.3.1) Ut+ Quux-1T Uxxx = O.
В разд. 1.4 мы видели, что iV-солитонное решение имеет вид
(3.3.2) и = 2^ InF,
где F — определитель некоторой матрицы. Этот вид подсказывает преобразование уравнения (3.3.1). Подставляя (3.3.2) в (3.3.1), один раз интегрируя и полагая константу интегрирования равной нулю, получим
(3.3.3) FxtF - FxFt + FxxxxF - 4FxxxFx + 3F2xx = 0.
Уравнение (3.3.3) является квадратичной формой (Хирота обычно называет уравнения такого вида билинейными); такие формы обычно возникают при правильном выборе замены зависимой переменной. Для дальнейшего анализа удобно ввести оператор
(3.3.4) DTDla ¦Ь = (дх - дх>)т (дх - дх,)п а (х, t) Ъ (*', Ґ) Ije,.,.
t'-t
Воспользовавшись этим определением, уравнение (3.3.3) можно переписать в виде
(3.3.5) (DxDt + D*) F ¦ F = 0.
При работе с этим оператором полезны следующие легко проверяемые свойства:
(3.3.6а) D™a-l=d?a,
(3.3.6b) D7a-b = (-l)mDfb-a,
(3.3.6с) Dxa ¦ a = 0, т. — нечетное число,
(3.3.6d) DmDne(kiX-ait) ш g<ft,*-«,<) =
= (kl — k2)m (— O1 + CO2)" Є<*'+*»> *-<<*+<*) t.
Имеется много других соотношений, содержащих оператор D,3.3. Прямые методы построения солитонных решений 201
Читатель при желании может обратиться к одной из упоминавшихся обзорных статей.
Предположим, далее, что функция F может быть представлена в виде формального ряда по степеням є:
(3.3.7а) F= 1 + ер + є2р> + ...,
гдє n
(3.3.7b) fl)=te\ т], = IziX- со./ + г//4
г=1
и kt, (Oi-, — константы. В случае уравнения КдФ (и на самом деле для всех задач, допускающих точное jV-солитонноє решение) этот формальный ряд обрывается. Действительно, подставив (3.3.7а) в (3.3.5), найдем
(DxDt + D*) (1 + єр + є2р + ...) • (1 + єр + є2р + ...) = 0
и, приравняв нулю коэффициенты при каждой степени є, получим
(3.3.8а) 0(1): 0 = 0,
(3.3.8b) 0(e): 2(0^ + ^)/(1) = 0,
(3.3.8с) О (є2): 2 (dxdt + д*) р = - (DxDt + D<) P • р,
(3.3.8d) О (е3): 2 (dxdt + д<) /<3> = - 2 (DxDt + D*) р • р.
Первое нетривиальное уравнение (3.3.8Ь) является однородным. В качестве решения мы взяли (3.3.7b). Если мы попытаемся продолжить вычисление членов ряда, начав с решения (3.3.7Ь) при произвольном N, то, к сожалению, столкнемся с аналитическими трудностями. Чаще всего можно получить решение для A^ = 1, 2 (и иногда для 3), а затем выдвинуть гипотезу о структуре решения при произвольном N и доказать ее по индукции. При N = 1 возьмем р = е 1K Тогда из (3.3.8Ь) следует, что (O1=-A3. Уравнение для /(2) следует из соотношения (3.3.8с), которое при помощи (3.3.6d) сводится к (3.3.9а) (dxdt + dl)P> = 0.